Содержание. Что такое прямоугольный треугольник?




НазваниеСодержание. Что такое прямоугольный треугольник?
Дата конвертации03.06.2013
Размер445 b.
ТипПрезентации


Аннотация.


Прямоугольные треугольники.



Содержание.

  • Что такое прямоугольный треугольник?

  • Некоторые свойства прямоугольных треугольников.

  • Признаки равенства прямоугольных треугольников.

  • Площадь прямоугольного треугольника.

  • Теорема Пифагора.

  • Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

  • Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

  • Используемые материалы.



Что такое прямоугольный треугольник?

  • Прямоугольный треугольник - это треугольник, один

  • внутренний угол которого - прямой.

  • Сторона прямоугольного треугольника, лежащая

  • против прямого угла, называется гипотенузой, а две

  • другие стороны - катетами.



Некоторые свойства прямоугольных треугольников.

  • Свойство №1.

  • Свойство №2.

  • Свойство №3.

  • Задачи для закрепления материала.



Свойство №1.

  • Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника

  • равна 90°.



Свойство №2.

  • Катет прямоугольного треугольника, лежащий против

  • угла в 30°, равен половине гипотенузы.



Свойство №3.

  • Если катет прямоугольного треугольника равен половине

  • гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30° .



Задачи для закрепления материала.

  • Задача №1.

  • Задача №2.



Задача №1.

  • Высота, проведенная к основанию равнобедренного

  • треугольника, равна 7,6см, а боковая сторона

  • треугольника равна 15,2см. Найдите углы этого

  • треугольника.



Решение.

  • Дано: равнобедренный ABC с

  • основанием AC, BD-высота

  • равнобедренного ABC, проведенная

  • к основанию, AB=15,2см, BD=7,6см.

  • Найти: A, B, C.

  • Решение:

  • AB=15,2см, BD=7,6см-по условию

  • задачи, BD= ½ AB, A-угол, лежащий

  • против катета BD A=30°.

  • A= C-как углы при основании в

  • равнобедренном треугольнике

  • С=30°.

  • A+ B+ C=180°-по тереме о сумме

  • углов треугольника B=180°- A- С;

  • B= 180°-30°-30°=120°.

  • Ответ: A= 30°, B=120°, C= 30°.



Задача №2.

  • В прямоугольном треугольнике ABC B=90°, A=60°, AD-биссектриса, AD=8см. Найдите

  • длину катета BC.



Решение.

  • Дано: прямоугольный ABC, в котором

  • B-прямой, A=60°;

  • AD-биссектриса A, AD=8см.

  • Найти:BC.

  • Решение:

  • A+ B+ C=180°- по теореме о сумме углов

  • треугольника, C=30°.

  • BAD= DAC=30°-по свойству биссектрисы.

  • BAD-прямоугольный, т.к. B=90°

  • BD-катет, лежащий против BAD=30°;

  • BD= ½ AD; BD= ½*8см= 4см.

  • DAC= DCA=30° DAC-равнобедренный

  • AD=DC=8см.

  • BC=BD+DC-по свойству измерения отрезков

  • BC=4см+8см=12см.

  • Ответ: BC=12см.



Признаки равенства прямоугольных треугольников.

  • Признак №1.

  • Признак №2.

  • Признак №3.

  • Признак №4.

  • Признак №5.

  • Задачи для закрепления материала.



Признак №1.

  • Если катет одного прямоугольного треугольника

  • соответственно равны катетам другого, то такие треугольники

  • равны.



Признак №2.

  • Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного

  • треугольника соответственно равны катету и прилежащему к

  • нему острому углу другого, то такие треугольники равны.



Признак №3.

  • Если катет и острый угол одного прямоугольного

  • треугольника соответственно равны катету и острому

  • углу другого, то такие треугольники равны.



Доказательство.

  • Дано: прямоугольный ABC, в котором

  • A-прямой, прямоугольный A1B1C1, в

  • котором A1-прямой, B= B1, AC=A1C1.

  • Доказать: ABC= A1B1C1.

  • Доказательство:

  • B+ C=90° по св-ву прямоугольного

  • B1+ C1=90°

  • C=90°- B;

  • C1=90°- B1;

  • В= B1-по условию задачи C= С1,

  • A= A1-т.к эти углы прямые,

  • АС=A1C1-по условию задачи

  • ABC= A1B1C1-по стороне и двум

  • прилежащим к ней углам.



Признак №4.

  • Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного

  • треугольника соответственно равны гипотенузе и

  • острому углу другого, то такие треугольники равны.



Доказательство.

  • Дано: прямоугольный ABC, в

  • котором A-прямой, прямоугольный

  • A1B1C1, в котором A1-прямой,

  • B= B1, BC=B1C1.

  • Доказать: ABC= A1B1C1.

  • Доказательство:

  • B+ C=90° по св-ву прямоугольного

  • B1+ C1=90°

  • C=90°- B;

  • C1=90°- B1;

  • В= B1-по условию задачи C= С1,

  • BC=B1C1-по условию задачи.

  • ABC= A1B1C1-по стороне и двум

  • прилежащим к ней углам.



Признак №5.

  • Если гипотенуза и катет одного прямоугольного

  • треугольника соответственно равны гипотенузе и

  • катету другого, то такие треугольника равны.



Доказательство.

  • Дано: прямоугольный ABC, в

  • котором A-прямой, прямоугольный

  • A1B1C1, в котором A1-прямой,

  • AC=A1C1, BC=B1C1.

  • Доказать: ABC= A1B1C1.

  • Доказательство:

  • Так как A= A1, то ABC можно наложить на

  • A1B1C1 так, что вершина A совместится с

  • вершиной A1, а стороны AC и AB наложатся

  • соответственно на лучи A1C1 и A1B1.

  • Поскольку AB=A1B1, то вершина B

  • совместится с вершиной B1. Но тогда

  • вершины C и C1 также совместятся.

  • В самом деле, если предположить, что точка C

  • совместится с некоторой другой точкой C2

  • луча A1C1, то получим равнобедренный

  • C1B1C2, в котором углы при основании C1C2

  • не равны ( C2-острый, а C1 тупой, как

  • смежный с острым углом B1C1A1).

  • Но это невозможно, поэтому вершины C и C1

  • совместятся. Следовательно, полностью

  • совместятся треугольники ABC и A1B1C1, т.е.

  • она равны. Теорема доказана.



Задачи для закрепления материала.

  • Задача №1.

  • Задача №2.



Задача №1.

  • В треугольниках ABC и A1B1C1 углы A и A1-прямые,

  • BD и B1D1-биссектрисы. Докажите, что ABC= A1B1C1,

  • если B= B1 и BD=B1D1.



Решение.

  • Дано: прямоугольный ABC, в котором A

  • прямой, прямоугольный A1B1C1, в котором A1

  • прямой, BD и B1D1-биссектрисы, B= B1, BD=B1D1.

  • Доказать: ABC= A1B1C1.

  • Доказательство:

  • BD и B1D1-биссектрисы, B= B1-по условию задачи

  • ABD= DBC= A1B1D1= D1B1C1.

  • BAC= B1A1C1=90°-по условию задачи

  • ABD и A1B1D1-прямоугольные

  • BD=B1D1-по условию задачи

  • ABD= A1B1D1-по гипотенузе и острому углу.

  • ADB+ BDC=180° по свойству

  • A1B1D1+ B1D1C1=180° смежных углов.

  • BDC=180°- ADB;

  • B1D1C1=180°- A1B1D1;

  • ADB= A1B1D1-как соответствующие элементы в

  • равных BDC= B1D1C1.

  • BD=B1D1-по условию, DBC= D1B1C1-по

  • вышеизложенному DBC= D1B1C1-по стороне

  • и двум прилежащим к ней углам.

  • ABD= A1B1D1, DBC= D1B1C1

  • ABC= A1B1C1



Задача №2.

  • Прямоугольные треугольники ABC и ABD

  • имеют общую гипотенузу AB. Известно, что

  • AC BD. Докажите, что AD=BC.



Решение.

  • Дано: ABC-прямоугольный, в котором

  • C-прямой, ABD-прямоугольный, в котором

  • D-прямой.

  • AB-общая гипотенуза.

  • AC BD.

  • Доказать: AD=BC.

  • Доказательство:

  • CAB и ABD-накрест лежащие углы при

  • пересечении двух параллельных прямых AC и

  • BD секущей AB CAB= ABD.

  • AB-общая гипотенуза

  • ABC= ABD-по гипотенузе и острому углу.

  • AD=BC-как соответствующие элементы в равных

  • треугольниках.



Площадь прямоугольного треугольника.

  • Площадь прямоугольного треугольника

  • равна половине произведения его катетов.

  • SABC=½AB*AC



Доказательство.

  • Дано: ABC-прямоугольный, в

  • котором A-прямой,

  • AB и AC-катеты.

  • Доказать:SABC=½AB*AC.

  • Доказательство:

  • Достроим ABC до прямоугольника ABDC.

  • BD=AC как противоположные стороны

  • AB=CD параллелограмма ABDC;

  • BC-общая сторона

  • ABC= BDC-по трем сторонам, поэтому

  • их площади равны

  • SABDC=AB*AC;

  • SABDC=2* ABC;

  • ABC=½ AB*AC.

  • Теорема доказана.



Теорема Пифагора.

  • Немного истории.

  • Теорема Пифагора.

  • Теорема, обратная теореме Пифагора.

  • Задачи для закрепления материала.



Немного истории.

  • Пифагор родился в 570 г. до н. э. на острове Самос. Отец его Мнесарх – резчик по драгоценным камням. Имя его матери неизвестно, по некоторым  источникам называют её Пифаидой, дочерью основателя Самоса. По  многим античным свидетельствам, родившийся у них мальчик был сказачно красив, а вскоре проявил свои незаурядные способности. В 20 лет он по совету учителя отправляется путешествовать в поисках познаний. Попадает в Милет, общается со знаменитым Фалесом, учится многому у него. Затем по совету Фалеса отправляется в Египет, путешествует по странам Востока, посещает Египет и Вавилон, подробно изучает восточную математику.  После 20 лет странствий возвращается на родину.  Затем поселяется в городе Кротоне и создаёт там знаменитую Пифагорейскую школу. Именно Пифагор и его ученики придали геометрии характер настоящей науки.  Пифагору приписывается много замечательных открытий и доказательств. Но из-за скудности сведений бывает трудно отличить в приписываемых Пифагору открытиях его собственные достижения от того, чему обязаны, с одной стороны, его предшественникам, а с другой — ученикам. То же самое можно сказать и по поводу теоремы, почти всюду называемой именем Пифагора: Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.



Немного Истории.

  • История показывает, что нет сомнения в том, что эту теорему знали за много лет до Пифагора. Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне уже знали о треугольнике со сторонами 3, 4. 5 и пользовались этим треугольником. За 1200 лет до Пифагора в Вавилоне и за 2000лет в Египте уже знали это соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Исследование показывает, что скорее всего Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника, он, вероятно, первым сумел его обобщить  и доказать, перевести его тем самым из области практики в область науки. Поэтому это свойство и названо теоремой Пифагора.

  • Особый интерес всегда вызывали так называемые «пифагоровы треугольники», стороны которых являются целыми числами. Поиски таких треугольников представляют одну из интереснейших страниц в истории математики. Наиболее широко известным из них является прямоугольный треугольник со сторонами 4, 3 и 5. Он назывался также «священным» или «египетским», так как он широко использовался в египетской культуре землемерами и строителями для определения прямого угла на плоскости.



Теорема Пифагора.

  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы

  • равен сумме квадратов катетов.



Доказательство.

  • Дано: прямоугольный треугольник с катетами

  • a, b и гипотенузой c.

  • Доказать:c2=a2+b2.

  • Доказательство:

  • Достроим треугольник до квадрата со

  • стороной a+b.

  • S =(a+b)2.

  • С другой стороны этот квадрат составлен из

  • 4 равных(по трем сторонам a,b и c)

  • прямоугольных треугольников, площадь

  • каждого из которых равна ½ab, и квадрата

  • со стороной c, поэтому

  • S=4*½ab+c2=2ab+c2.

  • (a+b)2=2ab+c2;

  • a2+2ab+b2= 2ab+c2;

  • a2+b2=c2. Теорема доказана.



Теорема‚ обратная теореме Пифагора.

  • Если квадрат одной стороны треугольника равен

  • сумме квадратов двух других сторон, то этот

  • треугольник прямоугольный.



Доказательство.

  • Дано: ABC, A1B1C1-прямоугольный,

  • в котором A1-прямой;

  • ВС2=AB2+AC2;

  • A1B1=AB;

  • A1C1=AC.

  • Доказать: A-прямой.

  • Доказательство:

  • B1C12=A1B12+A1C12 –по теореме Пифагора

  • B1C12=AB2+AC2,

  • но ВС2=AB2+AC2 - по условию теоремы

  • BC2=B1C12;

  • BC=B1C1

  • ABC= A1B1C1 – по трем сторонам

  • A1= A-как соответствующие элементы в

  • равных треугольниках A-прямой.



Задачи для закрепления материала.

  • Задача №1.

  • Задача №2.



Задача №1.

  • В прямоугольном треугольнике острый

  • угол равен 45°,а высота, проведенная к

  • гипотенузе, равна 9 см. Найдите площадь

  • этого треугольника.



Решение.

  • Дано: прямоугольный ABC,в котором

  • A-прямой, AD-высота, проведенная к

  • гипотенузе; C=45°, AD=9см.

  • Найти: SABC.

  • Решение:

  • B+ C=90° -по свойству

  • прямоугольных треугольников

  • B=45° ABC-равнобедренный

  • AD-биссектриса A

  • BAD= DAC= B= C=45°

  • ABD и DAC-равнобедренные

  • BD=AD=DC=9см.

  • BC=BD+DC=9см+9см=18см.

  • SABC= ½*AD*BC=½*9см*18см=81см2.

  • Ответ: SABC=81см2.



Задача №2.

  • В прямоугольном треугольнике гипотенуза

  • относится к катету как 5:3. Найдите периметр

  • и площадь треугольника, если второй катет

  • равен 12 см.



Решение.

  • Дано: ABC-прямоугольный, в котором

  • A-прямой;

  • BC:AC=5:3;

  • AB=12см.

  • Найти: PABC, SABC.

  • Решение:

  • Пусть a-длина гипотенузы BC, b-длина катета AC.

  • Обозначим коэффициент пропорциональности R,

  • тогда a=5R, b=3R.

  • 122+(3R)2=(5R)2-по теореме Пифагора.

  • R=3, значит BC=3*5=15см, AC=3*3=9см.

  • PABC=AB+AC+BC;

  • PABC=12см+9см+15см=36см.

  • SABC= ½*AB*AC;

  • SABC= ½*12см*9см=54см2.

  • Ответ:PABC=36см; SABC=54см2.



Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

  • Задача.

  • Что такое среднее пропорциональное (среднее геометрическое)?

  • Следствие 1.

  • Следствие 2.

  • Задачи для закрепления материала.



Задача.

  • Доказать, что высота прямоугольного

  • треугольника, проведенная из вершины прямого

  • угла, разделяет треугольник на два подобных

  • прямоугольных треугольника, каждый из которых

  • подобен данному треугольнику.



Решение.

  • Дано: ABC-прямоугольный,

  • в котором C-прямой;

  • CD-высота, проведенная из

  • вершины C к гипотенузе AB.

  • Доказать: ABC~ ACD, ABC~ CBD,

  • ACD~ CBD.

  • Доказательство:

  • A-общий, ACB= ADC=90°

  • ABC~ ACD-по двум углам;

  • B-общий, ACB= BDC=90°

  • ABC~ CBD-по двум углам, A= BCD;

  • ADC= CDB=90°, A= BCD

  • ACD~ CBD-по двум углам, что и

  • требовалось доказать.



Что такое среднее пропорциональное (среднее геометрическое)?

  • Отрезок XY называется средним

  • пропорциональным (или средним

  • геометрическим) для отрезков AB и CD,если

  • XY=



Следствие 1.

  • Высота прямоугольно треугольника, проведенная из

  • вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для

  • отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.



Следствие 2.

  • Катет прямоугольно треугольника есть среднее

  • пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы,

  • заключенного между катетом и высотой, проведенной из

  • вершины данного угла.



Задачи для закрепления материала.

  • Задача №1.

  • Задача №2.



Задача №1.

  • В прямоугольном треугольнике ABC с

  • прямым углом C проведена высота CD к

  • гипотенузе AB. Найдите BD, AC и CD,если

  • AD=1см, BC=5 см.



Решение.

  • Дано: ABC-прямоугольный, в котором

  • C-прямой; CD-высота, проведенная из

  • вершины C к гипотенузе AB. AD=1см, BC=5

  • Найти: BD, AC, CD.

  • Решение:

  • AD+DB=AB-по свойству измерения отрезков;

  • BD=x AB=1+x;

  • CB= ;

  • 650=(1+x)*x;

  • x=25см AB=26см.

  • CD= ;

  • CD=5см.

  • AC= ;

  • AC= .

  • Ответ:BD=25см, AC= см, CD=5см.



Задача №2.

  • В треугольнике, стороны которого равны

  • 5см, 12 см и 13 см, проведена высота к его

  • большей стороне. Найдите отрезки, на

  • которые высота делит эту сторону.



Решение.

  • Дано: ABC,CH-высота, проведенная к

  • большей стороне.

  • AB=5см ,BC=12см ,AC=13см.

  • Найти: AH, HC.

  • Решение:

  • AC2=AB2+BC2;

  • 169=169 ABC-прямоугольный с

  • прямым B.

  • AH+HC=AC-по свойству измерения отрезков.

  • AH=13-HC.

  • BH= ;

  • BH2=13HC-HC2.

  • BH2+CH2=BC2 – по теореме Пифагора.

  • 144-CH2=13CH-CH2;

  • HC=11 1/13см AH=1 12/13см.



Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

  • Синус острого угла прямоугольного треугольника.

  • Косинус острого угла прямоугольного треугольника.

  • Тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

  • Котангенс острого угла прямоугольного треугольника.

  • Условие равенства синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике.

  • Основное тригонометрическое тождество.

  • Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°.

  • Тест.

  • Задачи для закрепления материала.



Синус острого угла прямоугольного треугольника.

  • Синусом острого угла прямоугольного

  • треугольника называется отношение

  • противолежащего катета к гипотенузе.



Косинус острого угла прямоугольного треугольника.

  • Косинусом острого угла прямоугольного

  • треугольника называется отношение

  • прилежащего катета к гипотенузе.



Тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

  • Тангенсом острого угла прямоугольного

  • треугольника называется отношение

  • противолежащего катета к прилежащему катету.



Котангенс острого угла прямоугольного треугольника.

  • Котангенсом острого угла прямоугольного

  • треугольника называется отношение

  • прилежащего катета к противолежащему катету.



Условие равенства синуса‚ косинуса‚ тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике.

  • Если острый угол одного прямоугольного

  • треугольника равен острому углу другого

  • прямоугольного треугольника, то синусы этих углов

  • равны, косинусы этих углов равны, тангенсы этих

  • углов равны и котангенсы этих углов равны.



Доказательство.

  • Дано: ABC-прямоугольный, в котором, C-прямой;

  • MNK-прямоугольный, в котором M-прямой;

  • A= M.

  • Доказать: sin A=sin K, cos A=cos K,

  • tg A=tg K, ctg A=ctg K.

  • Доказательство:

  • C= M по условию

  • A= K

  • ABC~ MNK-по двум углам, поэтому

  • , т.е. sin A=sin K;

  • , т.е. cos A=cos K;

  • , т.е. tg A=tg K;

  • , т.е. ctg A= ctg K.



Основное тригонометрическое тождество.

  • sin2 A+cos2 A=1;

  • sin A= ;

  • cos A= ;

  • 2 2 2 2

  • sin2 A+cos2 A= + = .

  • 2 2 2



Значение синуса‚ косинуса и тангенса для углов 30°‚ 45° и 60°.

  • Таблица значений sin α, cos α, tg α для углов α,

  • равных 30°, 45°, 60°.



Тест.

  • Задание №1.

  • Задание №2.

  • Задание №3.

  • Задание №4.

  • Задание №5.

  • Задание №6.

  • Задание №7.

  • Задание №8.



Задание №1.

  • A) sin A;

  • Б) cos A;

  • B) tg A;

  • Г) ctg A.



Задание №2.

  • A) sin A;

  • Б) cos A;

  • B) tg A;

  • Г) ctg A.



Задание №3.

  • A) sin A;

  • Б) cos A;

  • B) tg A;

  • Г) ctg A.



Задание №4.

  • A) sin B;

  • Б) cos B;

  • B) tg B;

  • Г) ctg B.



Задание №5.

  • A) 0,5;

  • Б) 0,85;

  • B) 0,75



Задание №6.

  • A) 0,4;

  • Б) 0,5;

  • B) 0,6.



Задание №7.

  • A) 4;

  • Б) 3;

  • B) 3,5;



Задание №8.

  • A)1,5;

  • Б) 2;

  • B) 3.



Верно!



Неверно



Задачи для закрепления материала.

  • Задача №1.

  • Задача №2.



Задача №1.

  • В треугольнике ABC угол C=90°, cosA=4/5,

  • AC=4. Найдите высоту CH.



Решение.

  • Дано: ABC-прямоугольный, в котором

  • C-прямой;

  • CH-высота, проведенная из вершины C к

  • гипотенузе AB.

  • cos A=4/5; AC=4.

  • Найти: CH.

  • Решение:

  • cos A=AC/AB=4/5-по условию AB=5.

  • AC= ;

  • 16=5*AH;

  • AH=3,2.

  • AH+HB=AB-по свойству измерения отрезков;

  • 3,2+HB=5;

  • HB=1,8.

  • HC= = = = 2,4.



Задача №2.

  • В треугольнике ABC AC=BC, угол C=120°,

  • AB= . Найдите AC.



Решение.

  • Дано: ABC, C=120°, AB= ;

  • AC=BC.

  • Найти: AC.

  • Решение:

  • Дополнительное построение: высота CH.

  • A+ B+ C=180° - по теореме о сумме

  • углов треугольника.

  • A+ B=60°;

  • AC=BC ABC-равнобедренный;

  • A= B=30° CH – катет, лежащий

  • против угла в 30° CH= ½ AC;

  • AH= -AH;

  • AH= /2;

  • cos 30°=AH/AC.

  • AC= : = 1.



Используемые материалы.

  • Л.С. Атанасян «Геометрия». 7,8,9 класс.

  • А.П. Ершова, В.В. Голобородько, А.С. Ершова «Самостоятельные и контрольные работы по геометрии» 7,8 класс.

  • Ю.Я. Каазик «Математический словарь».

  • И.В. Ященко, С.А. Шестаков, П.И. Захаров «Математика. ЕГЭ».

  • http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/003a/02320003.htm

  • http://sympatik.ru/object/2487

  • http://taina.aib.ru/biography/pifagor.htm

  • http://th-pif.narod.ru/biograph.htm



Похожие:

Содержание. Что такое прямоугольный треугольник? icon1 треугольник авс -прямоугольный. Найти ав 1 треугольник авс -прямоугольный. Найти ав
Пифия (прорицательница Аполлона), сидя на золотом триоде над сияющим отверстием оракула, не ответила на их вопрос, но сказала Мнесарху,...
Содержание. Что такое прямоугольный треугольник? icon«Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный»

Содержание. Что такое прямоугольный треугольник? iconЦель проекта: Доказать подлинность гипотезы. Задачи, которые мы поставили перед собой
Интерес к настенному календарю у нас появился после задачи, которую нам предложил учитель на уроке геометрии, при изучении темы «Прямоугольные...
Содержание. Что такое прямоугольный треугольник? iconЛитература Древней Руси Первые русские книги Содержание: Что такое летопись Начало летописания Авторы первых книг Содержание и оформление летописей
Сшитые пергаментные листы помещали между двумя досками, служившими в то время обложкой
Содержание. Что такое прямоугольный треугольник? iconВневписанная окружность Геометрия является самым могущественным
Г. Галилей Простейший из многоугольников треугольник играет в геометрии особую роль. За несколько тысячелетий геометры столь подробно...
Содержание. Что такое прямоугольный треугольник? iconУчебник. § 30 Учебник. § 30 Практикум. Работа Задание Что такое информация? Что такое информация? Что такое Система?
В векторной модели информация о точках, линиях и полилиниях (дома, дороги, реки, здания и т п.) кодируется и хранится в виде набора...
Содержание. Что такое прямоугольный треугольник? iconТреугольник Треугольник самая простая замкнутая
Учение о треугольниках развивалось в ионийской школе, основанной в VII в до н э
Содержание. Что такое прямоугольный треугольник? iconЧто такое Я? Что такое Я?
Многое мы помним о себе с чужих слов. Часто даже трудно установить наши ли это воспоминания или мы лишь запомнили то, что слышали...
Содержание. Что такое прямоугольный треугольник? iconЧто такое «проект»? Что такое «проект»?
Что ученики умеют делать и чему им предстоит научиться в ходе работы над проектом?
Содержание. Что такое прямоугольный треугольник? iconЧто такое время? Что такое время?
Математики говорят, что это… Величина (количественная характеристика), по которой можно сравнивать продолжительность
Разместите кнопку на своём сайте:
hnu.docdat.com


База данных защищена авторским правом ©hnu.docdat.com 2012
обратиться к администрации
hnu.docdat.com
Главная страница