Моделирование систем




НазваниеМоделирование систем
Дата конвертации02.05.2013
Размер445 b.
ТипЛекция



Кафедра «Автоматика и управление в технических системах» направление 220200 – Автоматизация и управление

  • МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

  • Лекция 21

  • Статистические методы обработки результатов моделирования.

  • Критерии согласия

  • Преподаватель: Трофимова Ольга Геннадиевна, доц., к.т.н.



Цель изучения материала:

  • научиться проводить обработку и анализ результатов моделирования систем,

  • изучить статистические методы обработки,

  • изучить задачи обработки результатов моделирования,

  • научиться обрабатывать результаты моделирования с помощью критериев согласия Колмогорова, Пирсона, Смирнова, Стьюдента, Фишера.



Компетенции, формирующиеся в процессе знакомства с материалом:

  • готовность учитывать современные тенденции развития информатики и вычислительной техники, компьютерных технологий в своей профессиональной деятельности;

  • приобретать новые знания, используя современные образовательные и информационные технологии;

  • разрабатывать модели информационных систем, включая модели систем управления;

  • обрабатывать результаты экспериментов, в частности с использованием статистических методов обработки;

  • использовать современные инструментальные средства и технологии имитационного моделирования;



Содержание лекции 21

  • Раздел 7. Обработка и анализ результатов моделирования систем.

  • Особенности фиксации и статистической обработки результатов моделирования систем на ЭВМ.

  • Статистические методы обработки.

  • Задачи обработки результатов моделирования.

  • Критерий согласия Колмогорова.

  • Критерий согласия Пирсона.

  • Критерий согласия Смирнова.

  • Критерий согласия Стьюдента.

  • Критерий согласия Фишера.



Статистические методы обработки

  • Для исследования сложных систем при большом числе реализации N в результате компьютерного моделирования получается значительный объем информации о состояниях процесса функционирования системы. Поэтому необходимо так организовать в процессе вычислений фиксацию и обработку результатов моделирования, чтобы оценки для искомых характеристик формировались постепенно по ходу моделирования, т.е. без специального запоминания всей информации о состояниях процесса функционирования системы.



Статистические методы обработки

  • Если при моделировании процесса функционирования системы учитываются случайные факторы, то и среди результатов моделирования присутствуют случайные величины. В качестве оценок для искомых характеристик рассчитывают:

  • - средние значения,

  • - дисперсии,

  • - корреляционные моменты и т.д.



Статистические методы обработки

  • Пусть в качестве искомой величины фигурирует вероятность некоторого события А. В качестве оценки для искомой вероятности р = Р(А) используется частость наступления события m / N, где т – число случаев наступления события А; N – число реализаций. Такая оценка вероятности появления события А является состоятельной, несмещенной и эффективной. Для получения оценки вероятности в памяти компьютера при обработке результатов моделирования достаточно накапливать лишь число т (при условии, что N задано заранее).



Статистические методы обработки

  • Аналогично оцениваются вероятности возможных значений случайной величины, т.е. закона распределения. Область возможных значений случайной величины  разбивается на п интервалов. Затем накапливается количество попаданий случайной величины в эти интервалы mk, . Оценкой для вероятности попадания случайной величины в интервал с номером k служит величина mk/N. Таким образом, при этом достаточно фиксировать n значений mk при обработке результатов моделирования на компьютере.



Статистические методы обработки

  • Для оценки среднего значения случайной величины  накапливается сумма возможных значений случайной величины уk, , которые она принимает при различных реализациях. Тогда среднее значение

  • .

  • Ввиду несмещенности и состоятельности оценки:

  • М[ ] = М[] = ;

  • D[ ] = D[] / N = / N.



Статистические методы обработки

  • Оценка дисперсии случайной величины 

  • .

  • Непосредственное вычисление дисперсии по этой формуле нерационально, так как необходимо запоминать все N значений уk . Более рационально организовать фиксацию результатов моделирования для оценки дисперсии с использованием следующей формулы:

  • .

  • Тогда для вычисления дисперсии достаточно накапливать суммы: значений yk и их квадратов .



Статистические методы обработки

  • Для случайных величин  и  с возможными значениями xk и yk корреляционный момент

  • или

  • .

  • Последнее выражение вычисляется при запоминании в процессе моделирования небольшого числа значений и применяется при ограниченности вычислительных ресурсов.



Статистические методы обработки

  • Если при моделировании системы искомыми характеристиками являются математическое ожидание и корреляционная функция случайного процесса y(t) (в интервале моделирования [0,Т]), для нахождения оценок этих величин указанный интервал разбивают на отрезки с постоянным шагом t и накапливают значения процесса yk(t) для фиксированных моментов времени t = tm= mt.



Статистические методы обработки

  • При обработке результатов моделирования математическое ожидание и корреляционная функция:

  • ;

  • где и и z пробегают все значения tm.

  • Для уменьшения затрат вычислительных ресурсов на хранение промежуточных результатов применяется выражение :

  • .



Статистические методы обработки

  • Отметим особенности фиксации и обработки результатов моделирования, связанные с оценкой характеристик стационарных случайных процессов, обладающих эргодическим свойством. Пусть рассматривается процесс y(t), у которого среднее по времени равно среднему по множеству. Это означает, что для оценки искомых характеристик выбирается одна достаточно продолжительная реализация процесса y(t), для которой целесообразно фиксировать результаты моделирования.



Статистические методы обработки

  • Для рассматриваемого случая запишем математическое ожидание и корреляционную функцию процесса:

  • ;

  • .



Статистические методы обработки

  • На практике при моделировании системы на компьютере интервал (0, Т) оказывается ограниченным и значения y(t) удается определить только для конечного набора моментов времени tm. При обработке результатов моделирования для получения оценок у и B() используются приближенные формулы:

  • ;

  • ,

  • которые целесообразно преобразовать с точки зрения эффективности фиксации и обработки результатов моделирования.



Задачи обработки результатов моделирования

  • При обработке результатов вычислительного эксперимента с моделью наиболее часто возникают следующие задачи:

  • 1) определение эмпирического закона распределения случайной величины,

  • 2) проверка однородности распределений,

  • 3) сравнение средних значений и дисперсий переменных, полученных в результате моделирования, и т.д.

  • Эти задачи в математической статистике являются типовыми задачами по проверке статистических гипотез.



Задачи обработки результатов моделирования

  • 1) Задача определения эмпирического закона распределения случайной величины наиболее общая. Для правильного решения требуется большое число реализаций N. По результатам вычислительного эксперимента находят значения выборочного закона распределения Fэ(y) (или функции плотности fэ(у)) и выдвигают нулевую гипотезу Н0 – полученное эмпирическое распределение согласуется с каким-либо теоретическим распределением.



Задачи обработки результатов моделирования

  • Проверяют нулевую гипотезу Н0 с помощью статистических критериев согласия Колмогорова, Пирсона, Смирнова и т.д.

  • Статистическую обработку результатов проводят в процессе компьютерного моделирования системы.



Задачи обработки результатов моделирования

  • Для принятия или опровержения гипотезы выбирают некоторую случайную величину U, характеризующую степень расхождения теоретического и эмпирического распределения. Она связана с недостаточностью статистического материала и другими случайными причинами.

  • Закон распределения этой случайной величины U зависит от закона распределения случайной величины  и числа реализации N при статистическом моделировании системы.



Задачи обработки результатов моделирования

  • Если вероятность расхождения теоретического и эмпирического распределения P{Uт  U} велика в понятиях применяемого критерия согласия, то проверяемая нулевая гипотеза Н0 о виде распределения не опровергается.

  • Выбор вида теоретического распределения F(y) (или f(y)) проводится по графикам (гистограммам) Fэ(y) (или fэ(y)).

  • Рассмотрим особенности использования критериев согласия при обработке результатов компьютерного моделирования системы.



Критерий согласия Колмогорова

  • В качестве меры расхождения U применяется величина D = max[Fэ(y) – F(y)].

  • Из теоремы Колмогорова следует, что = D при N имеет функцию распределения

  • F(z) = P{ < z} = , z > 0.

  • Если вычисленное на основе экспериментальных данных значение  меньше, чем табличное значение при выбранном уровне значимости , то нулевую гипотезу H0 принимают. Иначе расхождение между Fэ(у) и F(y) считается неслучайным и нулевая гипотеза H0 отвергается.



Критерий согласия Колмогорова

  • Критерий Колмогорова для обработки результатов моделирования целесообразно применять, когда известны все параметры теоретической функции распределения.

  • Недостаток критерия – необходима фиксация в памяти компьютера для определения D всех статистических данных с целью упорядочения в порядке возрастания.



Критерий согласия Пирсона

  • В качестве меры расхождения U применяется величина

  • 2= ,

  • где тi – количество значений случайной величины , попавших в i-й подынтервал; pi – вероятность попадания случайной величины  в i-й подынтервал, вычисленная из теоретического распределения; d – количество подынтервалов, на которые разбивается интервал измерения в вычислительном эксперименте.



Критерий согласия Пирсона

  • При N закон распределения величины U, являющейся мерой расхождения, зависит только от числа подынтервалов и приближается к закону распределения 2 (хи-квадрат) с (d – r – 1) степенями свободы, где r – число параметров теоретического закона распределения.



Критерий согласия Пирсона

  • Из теоремы Пирсона следует, что, какова бы ни была функция распределения F(y) случайной величины , при N распределение величины 2 имеет вид:

  • где Г(k/2) – гамма-функция; z – значение случайной величины 2; k=d – r – 1 число степеней свободы. Функции распределения Fk(z) табулированы.



Критерий согласия Пирсона

  • По вычисленному значению U = 2 и числу степеней свободы k с помощью таблиц находится вероятность P{  2}.

  • Если эта вероятность превышает некоторый уровень значимости , то нулевая гипотеза H0 о виде распределения не опровергается результатами вычислительного эксперимента.



Критерий согласия Смирнова

  • 2) При оценке адекватности вычислительной модели реальной системе проверяется гипотеза H0 – две выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности. Если выборки независимы и законы распределения совокупностей F(u) и F(z) являются непрерывными функциями своих аргументов u и z, то для проверки нулевой гипотезы H0 можно использовать критерий согласия Смирнова. По результатам эксперимента вычисляют эмпирические функции распределения Fэ(u) и Fэ(z) и определяют величину

  • D = max |Fэ(u) – Fэ(z)|.



Критерий согласия Смирнова

  • При заданном уровне значимости  находят допустимое отклонение

  • ,

  • где N1 и N2объемы сравниваемых выборок для Fэ(u) и Fэ(z).

  • Сравнивают значения D и D: если D > D, то нулевую гипотезу H0 о тождественности законов распределения F(u) и F(z) с доверительной вероятностью  = 1 –  отвергают.



Критерий согласия Стьюдента

  • 3) Сравнение средних значений двух независимых выборок, взятых из нормальных совокупностей с неизвестными, но равными дисперсиями D[] = D[], сводится к проверке нулевой гипотезы Н0:  = u – z = 0 на основании критерия согласия Стьюдента (t-критерия). Вычисляют оценку

  • где N1 и N2 объемы выборок для оценки u и z соответственно; и оценки дисперсий соответствующих выборок.



Критерий согласия Стьюдента

  • Определяют число степеней свободы k = N1 + N2 – 2.

  • Выбирают уровень значимости  и по таблицам находят значение t.

  • Расчетное значение t сравнивается с табличным t.

  • Если |t| < t, то нулевая гипотеза H0 не опровергается результатами вычислительного эксперимента.



Критерий согласия Фишера

  • Задача сравнения дисперсий сводится к проверке нулевой гипотезы H0 – принадлежат ли две выборки к одной и той же генеральной совокупности. Сравним две дисперсии и , полученные при обработке результатов со степенями свободы k1 и k2, причем > . Для того чтобы опровергнуть нулевую гипотезу H0: = , необходимо при уровне значимости  указать значимость расхождения. При условии независимости выборок, взятых из нормальных совокупностей, в качестве критерия значимости используется распределение Фишера (F-критерий) F= / , которое зависит только от числа степеней свободы k1= N1 – 1, k2 = N2 – 1, где N1 и N2 объемы выборок для оценки.



Критерий согласия Фишера

  • Алгоритм применения критерия Фишера следующий:

  • 1) вычисляется выборочное отношение F= / ;

  • 2) определяется число степеней свободы k1 = N1 – 1 и k2 = N2 – 1;

  • 3) при выбранном уровне значимости  по таблицам F-распределения находятся значения границ критической области

  • 4) проверяется неравенство F1   F2; если это неравенство выполняется, то с доверительной вероятностью  нулевая гипотеза H0: = принимается.



Особенности фиксации и статистической обработки результатов моделирования систем на ЭВМ

  • Рассмотренные оценки искомых характеристик процесса функционирования системы, полученные в результате вычислительного эксперимента с моделью, являются простейшими и охватывают большинство случаев, встречающихся в практике обработки результатов моделирования системы для целей ее исследования.



Выводы и заключение по лекции:

  • научились проводить обработку и анализ результатов моделирования систем,

  • изучили статистические методы обработки,

  • изучили задачи обработки результатов моделирования,

  • научились обрабатывать результаты моделирования с помощью критериев согласия Колмогорова, Пирсона, Смирнова, Стьюдента, Фишера.



Перечень источников:

  • 1. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учеб. для вузов. 5-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 2007. 343 с.: ил.

  • 2. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов. М.: Наука, 1997. 600 с.

  • Список дополнительной литературы по теме:

  • 3. Моделирование систем с использованием информационных технологий: Учебн. пособие. В.Г. Лисиенко, Н.Г. Дружинина, О.Г. Трофимова, С.П. Трофимов. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2009. 440 с.

  • 4. Трофимова О.Г. Проверка статистической гипотезы с помощью критериев согласия: : Методические указания к лабораторной работе по дисциплине «Моделирование систем». Екатеринбург: УГТУ – УПИ, 2010. 26 с.



Похожие:

Моделирование систем iconМоделирование технических систем. Системы массового обслуживания Моделирование технических систем

Моделирование систем iconМоделирование динамики твердых тел и систем связанных тел с механическими соударениями

Моделирование систем iconМоделирование систем
Кафедра «Автоматика и управление в технических системах» направление 220200 Автоматизация и управление
Моделирование систем iconМатематическое моделирование информационных процессов Содержание: Информационные технологии и моделирование

Моделирование систем iconМоделирование в среде графического редактора Моделирование геометрических фигур
Цели моделирования нарисовать стандартную фигуру (квадрат), собрать рисунок из данных деталей
Моделирование систем iconМоделирование систем
Кафедра «Автоматика и управление в технических системах» направление 220200 Автоматизация и управление специальность 220201 Управление...
Моделирование систем iconМоделирование систем
Кафедра «Автоматика и управление в технических системах» направление 220200 Автоматизация и управление специальность 220201 Управление...
Моделирование систем iconМоделирование процессов потребления. Моделирование процессов потребления
Повседневная жизнь человека связана с решением целого ряда задач, в которых необходимо принимать решения о выборе поведения
Моделирование систем iconМоделирование как метод познания Моделирование – это метод познания, состоящий в создании и исследовании моделей
Свойства объекта, которые должна отражать модель, определяются поставленной целью его изучения
Моделирование систем icon1 Цель. 1 Цель. Моделирование как метод познания
Моделирование это метод познания, состоящий в создании и исследовании моделей
Разместите кнопку на своём сайте:
hnu.docdat.com


База данных защищена авторским правом ©hnu.docdat.com 2012
обратиться к администрации
hnu.docdat.com
Главная страница