Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний. Возникает необходимость знакомить учащихся с различными методами их решения, так как в 11 классе решаются задачи только с помощью дифференциального исчисления




НазваниеРешение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний. Возникает необходимость знакомить учащихся с различными методами их решения, так как в 11 классе решаются задачи только с помощью дифференциального исчисления
Дата конвертации29.04.2013
Размер445 b.
ТипРешение



Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний. Возникает необходимость знакомить учащихся с различными методами их решения, так как в 11 классе решаются задачи только с помощью дифференциального исчисления.

  • Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний. Возникает необходимость знакомить учащихся с различными методами их решения, так как в 11 классе решаются задачи только с помощью дифференциального исчисления.



формировать у школьников представление о том, что экстремальная задача — математическая модель процессов реальной действительности; формировать у учащихся умения решать оптимизационные задачи методами, характерными для данного класса задач.

  • формировать у школьников представление о том, что экстремальная задача — математическая модель процессов реальной действительности; формировать у учащихся умения решать оптимизационные задачи методами, характерными для данного класса задач.



 

  •  

  • В результате проведения занятий по теме ученик знает:

  • Что называется экстремальной задачей;

  • алгоритм решения экстремальных задач;

  • основные методы решения экстремальных задач: метод опорных функций; метод, основанный на применении некоторых теорем.



Тема 1. «Использование свойств квадратичной функции при решении задач» (1 час) Тема 2. «Использование понятия синуса и косинуса угла при решении задач» (2 часа)

  • Тема 1. «Использование свойств квадратичной функции при решении задач» (1 час) Тема 2. «Использование понятия синуса и косинуса угла при решении задач» (2 часа)

  • Тема 3. «Решение экстремальных задач с применением некоторых теорем» (2 часа)

  • Тема 4. «Решение прикладных задач» (1 час)

  • Тема 5. «Решение древнейших задач с помощью производной» (1 час)

  • Тема 6. Итоговое занятие (2 часа)



Занятие 1

  • Занятие 1

  • Цель: Сформировать представление учащихся о понятии экстремальной задачи, об алгоритме её решения; Выделить свойства квадратичной функции, которые могут быть использованы при решении задач.

  • Задача 1. Зависимость между размером используемой площади полей и валовым доходом из расчета на 100 га угодий лесостепной зоны Львовской области выражена функцией у =9+9х-1,5х2 где х – площадь сельскохозяйственных угодий (в тыс. га), у – валовой доход на 100 га сельскохозяйственных угодий (в тыс. руб.). При какой площади хозяйство будет иметь наибольший доход?



Цель: Создать условия, при которых школьники установят, каким образом понятия синуса и косинуса угла могут быть использованы при решении задач. Повторяются теоретические положения. Цель: Закрепить изученный материал решением задач.

  • Цель: Создать условия, при которых школьники установят, каким образом понятия синуса и косинуса угла могут быть использованы при решении задач. Повторяются теоретические положения. Цель: Закрепить изученный материал решением задач.

  • Цель: Рассмотреть применимость некоторых теорем при решении задач.



Цель: Рассмотреть применимость некоторых теорем при решении экстремальных задач.

  • Цель: Рассмотреть применимость некоторых теорем при решении экстремальных задач.

  • Цель: Рассмотреть методы решения прикладных экстремальных задач различными способами.

  • На занятиях решаются задачи на закрепление изученного материала по данной теме.



Цель: Рассмотреть применимость производной к решению древнейших задач.

  • Цель: Рассмотреть применимость производной к решению древнейших задач.

  • Задача Герона, задача Кеплера о вписанном цилиндре, задача Тартальи, задача Евклида о параллелограмме наибольшей площади, вписанном в треугольник. Перевод задач на математический язык, их решение основным методом.

  • Цель: Систематизировать и обобщить основные теоретические факты, полученные при изучении занятий.

  • Цель: Систематизировать и обобщить основные теоретические факты, получить обратную связь от учащихся .



Занятие 1. «Экстремальные задачи. Использование свойств квадратичной функции при решении задач»

  • Занятие 1. «Экстремальные задачи. Использование свойств квадратичной функции при решении задач»

  • Цель: создать условия, при которых школьники установят, какие свойства квадратичной функции могут быть использованы при решении задач.



В результате ученик знает:

  • В результате ученик знает:

  • что называется экстремальной задачей;

  • алгоритм решения экстремальных задач;

  • один из методов решения задачи, а именно – использование свойств квадратичной функции.



В результате ученик умеет:

  • В результате ученик умеет:

  • находить наибольшее или наименьшее значение квадратичной функции (используя теорему о наибольшем (наименьшем) значении квадратичной функции)



по источнику передачи и характеру восприятия информации – словесные (эвристическая беседа), а также практические (поиск наибольшего или наименьшего значения квадратичной функции по готовым чертежам);

  • по источнику передачи и характеру восприятия информации – словесные (эвристическая беседа), а также практические (поиск наибольшего или наименьшего значения квадратичной функции по готовым чертежам);

  • по характеру познавательной деятельности учащихся – частично-поисковая;

  • по степени управления учебной деятельностью – под руководством учителя через систему целесообразно подобранных задач и вопросов;

  • метод мотивации – практическая необходимость;



На доске написана цитата:

  • На доске написана цитата:

  • «…особенную важность имеют те науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды»

  • П. Л. Чебышев (1821-1894)



  • Из курса восьмого класса вам известно, что любую квадратичную функцию у=ах2+вх+с с помощью выделения полного квадрата можно записать в виде у=ах2+вх+с=а ( х+в/2а)2+(4ас-в2)/4а

  • . Основные возможности квадратичной функции, в плане решения оптимизационных задач, связаны именно с таким её представлением: у =а (х-х0)2+у0

  • Скажите, какие координаты имеет тогда вершина параболы?



  • Учитель Далее, учитывая знак числа а, то есть направление ветвей параболы, можно без труда найти наименьшее или наибольшее значение квадратичной функции . Чему оно будет равно? Теперь сформулируем теорему о наибольшем (наименьшем) значении квадратичной функции. Ученики (записывают в тетрадь). Теорема о наибольшем (наименьшем) значении квадратичной функции. Если а>0 ( а<0), то функция у=ах2+вх+с при х = -в /2а принимает наименьшее (наибольшее) значение, равное 4ас-в2/4а.



Учитель. Начнём работу с решения задачи 1.

  • Учитель. Начнём работу с решения задачи 1.

  • Задача 1. Зависимость между размером используемой площади полей и валовым доходом из расчета на 100 га сельскохозяйственных угодий лесостепной зоны Львовской области выражена функцией у =9+9х-1,5х2, где х – площадь сельскохозяйственных угодий (в тыс. га), у – валовой доход на 100 га сельскохозяйственных угодий (в млн. руб.). При какой площади хозяйство будет иметь наибольший доход? Каков будет этот доход?

  • На доске и в тетрадях учеников появляются записи:

  • Задача 1. Функция у =9+9х-1,5х2 принимает наибольшее значение при х=-9/2(-1,5) , х=3 (тыс. га.),

  • унаиб=4(-1,5)9-92/4(-1,5) , у=22,5(млн. руб.).

  • Ответ: хозяйство будет иметь наибольший доход на 100 га сельск. угодий, равный приблизительно22,5 млн. руб., при площади 3 тыс. га.



Учитель любая экстремальная задача может быть решена по следующей схеме, состоящей из пяти этапов.

  • Учитель любая экстремальная задача может быть решена по следующей схеме, состоящей из пяти этапов.

  • Проанализировав условие задачи, определяют, наибольшее или наименьшее значение какой величины следует найти (часто говорят: какую величину следует оптимизировать?).

  • Одну из неизвестных величин принимают за независимую переменную и обозначают её буквой х . Определяют границы изменения х.



Исходя из условия задачи величину, наибольшее или наименьшее значение которой требуется найти, выражают через х и известные величины (чаще всего зависимость выражается с помощью функции у=f(х))).

  • Исходя из условия задачи величину, наибольшее или наименьшее значение которой требуется найти, выражают через х и известные величины (чаще всего зависимость выражается с помощью функции у=f(х))).

  • Находят средствами математики наибольшее или наименьшее значение на промежутке изменения х .

  • Интерпретируют результат для рассматриваемой задачи. Записывают ответ.



Задача 2. На плоскости даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Из точки А на ВС опущен перпендикуляр АД, при чём АД=а,ВД=в , и СД=с . На отрезке ВД отмечена точка М так, чтобы значение суммы квадратов расстояний от М до А,В и С было наименьшим. Найти это значение.

  • Задача 2. На плоскости даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Из точки А на ВС опущен перпендикуляр АД, при чём АД=а,ВД=в , и СД=с . На отрезке ВД отмечена точка М так, чтобы значение суммы квадратов расстояний от М до А,В и С было наименьшим. Найти это значение.

  • Решение. 1 этап. Оптимизируемая величина: АМ2+ВМ2+СМ2 . 2этап. Независимая переменная: МД=х , о<х<в ,

  • 3 этап. 1) ∆АДМ- прямоугольный ,

  • поэтому по теореме Пифагора

  • АМ2=МД2+АД2=х2+а2 ; 2) ВМ=(в-х)2 ;

  • 3) СМ=(с+х)2 ;4) у=3х2+2(с-в)х+а2+в2+с2

  • 4 этап. унаим=а2+2/3(в2+вс+с2) 5 этап.

  • Ответ: наим. значение суммы квадратов

  • расстояний а2+2/3(в2+вс+с2) равно .



Задача 3. Отрезок длиной а разделить на две части так, чтобы сумма площадей квадратов, построенных на его частях, была наименьшей. Учитель. Какую величину

  • Задача 3. Отрезок длиной а разделить на две части так, чтобы сумма площадей квадратов, построенных на его частях, была наименьшей. Учитель. Какую величину

  • следует оптимизировать? Чему равна площадь

  • квадрата ADFG? DBNM ? Какой вид примет

  • оптимизируемая величина?

  • Подумайте, какую из величин следует принять за независимую переменную? Теперь определите границы изменения х. Выразим оптимизируемую величину через х. Найдем наименьшее значение функции и интерпретируем результат задачи.

  • Ответ: следует разделить отрезок пополам.



На доске и в тетрадях учеников появляются следующие записи:

  • На доске и в тетрадях учеников появляются следующие записи:

  • Задача 3. 1 этап. Оптимизируемая величина: SADFG+SDBNM,

  • 2 этап. Независимая переменная:AD=x , o,

  • 3 этап. SADFG+SDBNM =AD2+DB2=x2+(a-x)2 = x2+a2-2ax+x2 = 2x2-2ax+a2,

  • 4 этап. y(x)=2x2-2ax+a2 х=a|2.

  • 5 этап. Ответ: следует разделить отрезок пополам.

  • .

  • 5 этап. Ответ: следует разделить отрезок пополам.



Сегодня на уроке вы узнали много нового. Дома вы решите задачу 4, используя рассмотренную на уроке схему.

  • Сегодня на уроке вы узнали много нового. Дома вы решите задачу 4, используя рассмотренную на уроке схему.

  • Задача 4. На учебном полигоне произведён выстрел из зенитного орудия в вертикальном направлении неразрывающимся снарядом. Требуется определить наибольшую высоту подъёма снаряда, если начальная скорость снарядаV0=300 m/c.

  • Ускорение земного притяжения считать равным 10 m/c2, а сопротивлением воздуха пренебречь.



Смирнова И., Смирнов В. Экстремальные задачи по геометрии. — М.: Чистые пруды, 2007. — 32 с.: ил.

  • Смирнова И., Смирнов В. Экстремальные задачи по геометрии. — М.: Чистые пруды, 2007. — 32 с.: ил.

  • Алгебра: Учеб. для 10 – 11 кл. общеобразоват. Учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. — М.: Просвещение,2002. —384с.: ил.

  • Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред. шк. / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. — М.: Просвещение, 1991. — 239 с.: ил.

  • Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк. / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. — М.: Просвещение, 1991. — 239 с.: ил.

  • Виленкин Н.Я. Алгебра для 9 кл. с угл. изуч. математики. М.: «Посвещение».-2005год.





Похожие:

Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний. Возникает необходимость знакомить учащихся с различными методами их решения, так как в 11 классе решаются задачи только с помощью дифференциального исчисления iconРешение творческих задач фоминых И. Б. Гу роснии ит и ап fomin77@land ru «Настоящая теория возникает как ересь, а заканчивается как предрассудок»
Решение задачи формирование представления на основе признаков, задающихся условиями задачи (предикатами)
Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний. Возникает необходимость знакомить учащихся с различными методами их решения, так как в 11 классе решаются задачи только с помощью дифференциального исчисления iconРешение задач Урок геометрии в 11 классе
Отработка навыков и умений решения простейших задач в координатах и решения задач на скалярное произведение векторов
Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний. Возникает необходимость знакомить учащихся с различными методами их решения, так как в 11 классе решаются задачи только с помощью дифференциального исчисления iconЗакрепление умений решения задач различными способами (с помощью уравнений и по действиям)

Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний. Возникает необходимость знакомить учащихся с различными методами их решения, так как в 11 классе решаются задачи только с помощью дифференциального исчисления iconРешение задач Алгоритм решения задач Задачи на сравнение величин

Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний. Возникает необходимость знакомить учащихся с различными методами их решения, так как в 11 классе решаются задачи только с помощью дифференциального исчисления iconИз истории дифференциального и интегрального исчисления
Понятия интеграла и интегрального исчисления возникли из потребности вычислять площади фигур и поверхностей и объёмов произвольных...
Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний. Возникает необходимость знакомить учащихся с различными методами их решения, так как в 11 классе решаются задачи только с помощью дифференциального исчисления iconТема учебного проекта «Квадратные уравнения»
Так вырабатывается опыт» «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем...
Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний. Возникает необходимость знакомить учащихся с различными методами их решения, так как в 11 классе решаются задачи только с помощью дифференциального исчисления iconГеография» занимает особое интегративное место в общей системе знаний. Являясь как естественной, так и обществоведческой наукой, география способствует формированию у учащихся представлений о сложной, но одновременно целостной социоприродной картине мира.
Предмет «география» занимает особое интегративное место в общей системе знаний. Являясь как естественной, так и обществоведческой...
Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний. Возникает необходимость знакомить учащихся с различными методами их решения, так как в 11 классе решаются задачи только с помощью дифференциального исчисления iconУрок географии в 8 классе. Тема урока: «Влияние природных условий на жизнь и здоровье человека» Цель урока
Задачи урока: Обобщить и систематизировать знания о взаимодействии природы и человека. Сформировать представление о благоприятных,...
Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний. Возникает необходимость знакомить учащихся с различными методами их решения, так как в 11 классе решаются задачи только с помощью дифференциального исчисления iconО вы, которых ожидает о вы, которых ожидает
«Эрудит» добровольное самостоятельное формирование, которое объединяет обучающихся школы, способных к научному поиску, заинтересованных...
Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний. Возникает необходимость знакомить учащихся с различными методами их решения, так как в 11 классе решаются задачи только с помощью дифференциального исчисления iconРешение расчётных задач по химии Элективный курс Пояснительная записка
Программа предусмотрена для учащихся 9 классов и рассчитана на 14 ч,она учитывает возможности продолжения как естественнонаучного,...
Разместите кнопку на своём сайте:
hnu.docdat.com


База данных защищена авторским правом ©hnu.docdat.com 2012
обратиться к администрации
hnu.docdat.com
Главная страница