Проектно исследовательская деятельность обучающихся на уроках математики и во внеурочное время




НазваниеПроектно исследовательская деятельность обучающихся на уроках математики и во внеурочное время
Дата конвертации29.04.2013
Размер445 b.
ТипУрок


Проектно - исследовательская деятельность обучающихся на уроках математики и во внеурочное время.

  • Всякое знание остается мертвым, если в учащихся не развивается инициатива и самостоятельность: учащихся нужно приучать не только к мышлению, но и к хотению. Н.А.Умов


Исследовательская деятельность – это образовательная работа, связанная с решением учащимися творческой, исследовательской задачи (в различных областях науки) и предполагающая наличие основных этапов, характерных для научного исследования, а также таких элементов, как практическая методика исследования выбранного явления, собственный экспериментальный материал, анализ собственных данных и вытекающие из него выводы.

  • Исследовательская деятельность – это образовательная работа, связанная с решением учащимися творческой, исследовательской задачи (в различных областях науки) и предполагающая наличие основных этапов, характерных для научного исследования, а также таких элементов, как практическая методика исследования выбранного явления, собственный экспериментальный материал, анализ собственных данных и вытекающие из него выводы.



Результаты исследований можно оформить в виде презентации ( 10 – 15 мин.). Изложение включает:

  • титульный слайд - название работы, автор(ы), руководитель(и), консультант(ы);

  • цель работы, рабочая гипотеза;

  • теоретическое обоснование актуальности исследования (при необходимости);

  • использованные методы;

  • этапы работы, описание результатов;

  • объяснение результатов;

  • выводы, возможности использования результатов исследования и перспективы дальнейшей работы по данной теме;

  • благодарности;

  • источники информации.



Проект – оригинальная практико-ориентированная работа интегративного, межпредметного и творческого содержания. В ней учащийся (учитель) решает конкретные учебные, культурные, социальные задачи исследовательского и прикладного характера, наполняя работу открывающимся ему новым образовательным (для учителя – педагогическим) содержанием и практическим смыслом.

  • Проект – оригинальная практико-ориентированная работа интегративного, межпредметного и творческого содержания. В ней учащийся (учитель) решает конкретные учебные, культурные, социальные задачи исследовательского и прикладного характера, наполняя работу открывающимся ему новым образовательным (для учителя – педагогическим) содержанием и практическим смыслом.



Перед проектной деятельностью учитель должен продумать весь ход работы. Ни саму проблему, ни гипотезы, ни методы исследования поисковой деятельности он не должен давать учащимся в готовом виде. Учитель лишь ненавязчиво направляет мысль учащихся в нужное русло. А ребята должны подтвердить свою точку зрения аргументами, доказательствами, фактами.

  • Перед проектной деятельностью учитель должен продумать весь ход работы. Ни саму проблему, ни гипотезы, ни методы исследования поисковой деятельности он не должен давать учащимся в готовом виде. Учитель лишь ненавязчиво направляет мысль учащихся в нужное русло. А ребята должны подтвердить свою точку зрения аргументами, доказательствами, фактами.



На начальном этапе освоения проекты могут быть

  • Информационными

  • Практико – ориентированными

  • Творческими

  • Игровыми

  • Мини - проектами



Реализация методов проектов, методики сотрудничества перспективны при изучении математики;

  • Реализация методов проектов, методики сотрудничества перспективны при изучении математики;

  • В процессе работы у учащихся формируются новые учебные умения по самостоятельному добыванию и осмыслению знаний;

  • Проектно – исследовательская деятельность может использоваться для решения небольших проблемных задач, а так же для решения крупных, сложных для понимания вопросов.







Цели и задачи проекта

































  • характерные свойства функций проиллюстрировали с помощью пословиц и выяснили, что это способствует лучшему усвоению основных свойств функций и глубокого понимания богатства смысла и краткости народного языка.







Проект «Различные способы решения квадратных уравнений»



Цели проекта

  • Обобщить и систематизировать различные способы решения квадратных уравнений;

  • Проследить исторические этапы развития математики;

  • Научиться выбирать оптимальный, оригинальный способ решения задач;

  • Развить умения самостоятельно анализировать полученную информацию и выдвигать гипотезы;

  • Совершенствовать навыки исследовательской, творческой деятельности



Содержание

  • История возникновения

  • Решение по формуле

  • Теорема Виета

  • Способ «переброски»

  • Свойства корней уравнения

  • Графическое решение

  • Геометрический способ



История квадратного уравнения

  • Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений. Древнеиндийский математик Баудхаяма в VIII столетии до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме ax2 = c и ax2 + bx = c и привел методы их решения.



Вавилонские математики примерно с IV века до н.э. и китайские математики примерно со II века до н.э. использовали метод дополнения квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. Евклид придумал более общий геометрический метод решения.

  • Вавилонские математики примерно с IV века до н.э. и китайские математики примерно со II века до н.э. использовали метод дополнения квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. Евклид придумал более общий геометрический метод решения.

  • Первым математиком, который нашел решения уравнения с отрицательными корнями в виде алгебраической формулы, был Брахмагупта (Индия, VII столетие нашей эры).



Вывод формулы корней квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако он признавал только положительные корни. Итальянские математики 16 века учитывают помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в 17 веке благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

  • Вывод формулы корней квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако он признавал только положительные корни. Итальянские математики 16 века учитывают помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в 17 веке благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.





Решение квадратных уравнений по формуле Виета



Теорема Виета

  • Для приведенного квадратного уравнения (т.е. такого, коэффициент при x²в котором равен единице)

  • x²+ px + q = 0 сумма корней равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q: x1 + x2 = -p x1x2 = q

  • В случае не приведенного квадратного уравнения

  • ax² + bx + c = 0: x1 + x2 = -b / a x1x2 = c / a



Отсюда можно сделать следующий выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

  • Отсюда можно сделать следующий выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

  • а) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p.

  • Если p > 0, то оба корня отрицательны, если p < 0, то оба корня положительны.

  • Например.

  • х²- 3х + 2 = 0; х1 = 2 и х2 = 1, так как q =2∙1 и p =-(2+1)= - 3;

  • х²+ 8х + 7 = 0; х1 = - 7 и х2 = - 1, так как q =-7 ∙(-1)= 7 и p =-(-7-1)= 8.



б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0, или отрицателен, если p > 0.

  • б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0, или отрицателен, если p > 0.

  • Например.

  • х²+4х – 5 = 0; х1 = - 5 и х2 = 1, так как q = -5 ∙ 1=- 5 и p =-(-5+1)= 4.

  • х² - 8х – 9 = 0; х1 = 9 и х2 = - 1, так как q = -1 ∙ 9=-9 и p =-(9-1)=- 8.



Решение уравнений способом «переброски»



Рассмотрим квадратное уравнение:

  • ax² +bx +c=0, где a ≠0.

  • Умножая обе его части на a, получаем уравнение:

  • Пусть ax = y, откуда x = y/a ; тогда приходим к уравнению: y ² + by+ ac =0, равносильного данному.Его корни y1 и y2 найдём с помощью теоремы, обратной теореме Виета.

  • Окончательно получаем

  • x1= y1/a и x2= y2/a.



  • При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.



Примеры.

  • Решим уравнение 2x²-11x+15=0.

  • Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение: y²-11y+30=0.

  • Согласно теореме, обратной теореме Виета y1=5, y2=6.

  • Следовательно, x1= 5/2 =2,5; x2=6/2= 3.

  • Ответ: 2,5; 3.



Решим уравнение

  • Решим уравнение

  • Решение.

  • Используя метод « переброски», получим уравнение

  • По теореме, обратной теореме Виета Следовательно,



Решите уравнения, используя метод «переброски»:

  • 2x²-9x+9=0; 10x²-11x+3=0 ; 3x²+11x+6=0 ; 4x²+12x+5=0 ;





ax²+bx+c=0, где а≠0.

  • ax²+bx+c=0, где а≠0.

  • Если a+b+c=0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то x1=1, x2=c/a. Доказательство . Разделим обе части уравнения на а≠0, получим приведенное квадратное уравнение x² + x b/a + c/a=0. Согласно теореме Виета x1+x2=-b/a; x1x2=c/a. По условию a+b+c=0, откуда b = -a -c. Значит, x1+x2=1+c/a, x1x2=1∙c/a. Получаем , x1=1, x2=c/a, что и требовалось доказать.

  • Если a-b+c=0, или b = c +a, то x1=-1, x2=-c/a.



Примеры. Решим уравнение 345x²-137x-208=0. Решение. Так как a+b+c=0 (345-137-208=0), то x1=1, x2=c/a=-208/345. Ответ: 1; - 208/345.

  • Примеры. Решим уравнение 345x²-137x-208=0. Решение. Так как a+b+c=0 (345-137-208=0), то x1=1, x2=c/a=-208/345. Ответ: 1; - 208/345.

  • Решим уравнение 132x-247x+115=0. Решение. Так как a+ b+ c=0 (132-247+115=0), то x1=1, x2=115/132.



можно записать в виде x1=(-k+ √k-ac‾)/a; x2=(-k- √k-ac‾)/a.

  • можно записать в виде x1=(-k+ √k-ac‾)/a; x2=(-k- √k-ac‾)/a.

  • Пример. Решим уравнение 3х²-14х+16=0. Решение. Имеем: а=3, b=-14, с=16, k=-7; D=k²-ас =(-7)²-3·16=49-48=1, D>0, два различных корня; x1=(7-1)/3; x2=(7+1)/3; х1=2, х2= 8/3. Ответ:2; 8/3.

  • Решите уравнения по формуле: 4х²-36х+77=0; 4х²+20х+25=0; 15х²-22х-37=0; 9х²-12х+4=0.



Графическое решение квадратного уравнения





Построим графики зависимостей y=x2 и y= -px – q.

  • График первой зависимости – парабола, проходящая

  • через начало координат.

  • График второй зависимости – прямая.



Возможны следующие случаи:

  • -прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

  • -прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

  • -прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.





Решим графически уравнение: x2 - 3х – 4 = 0. Решение.

  • Запишем уравнение в виде:

  • x2 = 3х +4

  • Построим параболу:Y = x2

  • и прямую Y = 3х +4. Прямую можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13).

  • Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами X1 = - 1 и x2 = 4

  • Ответ: X1 = - 1 , x2 = 4.



Решим уравнение x2 – 2х + 1 = 0

  • Запишем уравнение в виде

  • X2 = 2x – 1. Построим параболу y=X2

  • и прямую y = 2x -1.

  • Прямую y = 2x -1 построим по двум точкам M(0;-1) и N(0,5;0) .

  • Прямая и парабола пересекаются в одной точке А с абсциссой X=1.

  • Ответ:X=1



  • Запишем уравнение в виде x2 = 2х - 5 .

  • Построим параболу y = x2 и прямую

  • y =2x – 5.

  • Прямую y = 2x -5 построим по двум точкам M(0; -5) и N(2,5;0).

  • Прямая и парабола не имеют точек, т.е. уравнение корней не имеет.

  • Ответ: уравнение x2 – 2х + 5 = 0 корней не имеет .



Решите графически уравнения

  • x2 – 4х + 4 = 0 ; x2 – 2х - 3 = 0

  • x2 + 2х - 3 = 0 ; x2 – х - 6 = 0

  • 4x2 – 4х - 1 = 0 ; x2 + 4х + 6 = 0



Геометрический способ решения квадратных уравнений



В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведём ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал-Хорезми.

  • В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведём ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал-Хорезми.



Примеры.

  • Примеры.

  • Решим уравнение

  • В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39». Решение. Рассмотрим квадрат со стороной x, на его сторонах строятся прямоугольники так, так что другая сторона каждого из них равна , следовательно, площадь каждого равна . Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них , а площадь .



Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата , четырёх прямоугольников

  • Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата , четырёх прямоугольников

  • и четырёх пристроенных квадратов , т. е. . Заменяя числом 39, получим, что S=39+25=64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок AB=8. Для искомой стороны x первоначального квадрата получим



А вот, например, как древние греки решали уравнение

  • А вот, например, как древние греки решали уравнение

  • Решение представлено на рисунке, где ,

  • или

  • Решение. Выражение и геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение - одно и то же уравнение.

  • Откуда и получаем, что , или

  • ;



Спасибо за урок!

  • Мы рассмотрели различные способы решения квадратных уравнений в разные исторические эпохи. Теперь необходимо научиться из нескольких решений выбирать наиболее оригинальное, оптимальное. Так вырабатывается опыт.



Похожие:

Проектно исследовательская деятельность обучающихся на уроках математики и во внеурочное время iconИсследовательская деятельность обучающихся в школе. Автор: Смирнова Светлана Викторовна
Исследовательская деятельность- образовательная технология, предполагающая решение учащимися исследовательской, творческой задачи...
Проектно исследовательская деятельность обучающихся на уроках математики и во внеурочное время iconПрезентация «Игровые ситуации на уроках математики» Разработала учитель математики Морозова Надежда Сергеевна Памятка для учителя по использованию игровых технологий на уроках
Игра «Аукцион 1» (повторение теоретического материала во время подготовки к гиа)
Проектно исследовательская деятельность обучающихся на уроках математики и во внеурочное время iconЗдоровьесберегающие технологии на уроках географии и во внеурочное время
Цель моего проекта: «Разработать теоретическую модель здоровьсберегающей технологии»
Проектно исследовательская деятельность обучающихся на уроках математики и во внеурочное время iconАвтор: учитель биологии высшей категории Белова Ирина Геннадьевна
Использование здоровьесберегающих технологий на уроках биологии и во внеурочное время
Проектно исследовательская деятельность обучающихся на уроках математики и во внеурочное время iconМастер-класс «Исследовательская деятельность учащихся на уроках истории и краеведения как условие воспитания гражданственности»

Проектно исследовательская деятельность обучающихся на уроках математики и во внеурочное время iconРешение предыдущего педсовета: «Формирование культуры здорового и безопасного образа жизни воспитанников»
Тарлакьян Е. Ю. Интеграция различных видов детской деятельности на прогулках. Пронина Е. А. Проектно-исследовательская деятельность...
Проектно исследовательская деятельность обучающихся на уроках математики и во внеурочное время iconПрезентация проекта Уткина А. В., учителя химии и биологии моу «Новосергиевская средняя общеобразовательная школа №3»
...
Проектно исследовательская деятельность обучающихся на уроках математики и во внеурочное время iconИспользование информационно-коммуникационных и Интернет-технологий на уроках математики Учитель математики мобу сош №3 г. Баймака Мурзабаева Фарида Мужавировна
Использование информационно-коммуникационных и Интернет-технологий на уроках математики
Проектно исследовательская деятельность обучающихся на уроках математики и во внеурочное время icon«Инновационная и исследовательская деятельность в удод». «Инновационная и исследовательская деятельность в удод»
Изучение результативности образовательного процесса в удод как полифункциональной, многоаспектной, многоуровневой системы
Проектно исследовательская деятельность обучающихся на уроках математики и во внеурочное время iconСочетание проектной и исследовательской деятельности в рамках школьного ноу. Кому нужна исследовательская деятельность в школе?
На мой взгляд, исследовательская деятельность это «локомотив», который может подтолкнуть ученика к саморазвитию, сделать его школьную...
Разместите кнопку на своём сайте:
hnu.docdat.com


База данных защищена авторским правом ©hnu.docdat.com 2012
обратиться к администрации
hnu.docdat.com
Главная страница