Применение производной в экономике




НазваниеПрименение производной в экономике
Дата конвертации29.04.2013
Размер445 b.
ТипПрезентации


Применение производной в экономике


Введение

  • Производная функции играет важную роль в естественно-научных и инженерно-технических исследованиях. Для многих отраслей науки она стала важным орудием количественного расчета, методом точного исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и проблем. Производная является мощным средством решения прикладных задач.



Экономический смысл производной

  • Пусть функция V = V(t) выражает количество произведенной продукции V за время t. Найдем производительность труда в момент времени t0. За период времени от t0 до to+Δt количество произведенной продукции изменится от значения Vo=V(to) до значения Vo+ΔV = V(to+Δt); тогда средняя производительность труда за этот период времени Пср.= ΔV/ Δt. Очевидно, что производительность труда в момент to можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от t0 до

  • to+Δt при Δt→0, т.е. П(t)= .

  • Таким образом, экономический смысл производной заключается в том, что производная объема произведенной продукции по времени V’(t) есть производительность труда в момент to:

  • П (t) = V ‘ (t)



Экономический смысл производной

  • Рассмотрим еще одно понятие, иллюстрирующее экономический смысл производной. Издержки производства y будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции x . Пусть Δ x - прирост продукции, тогда Δ y – приращение издержек производства и Δ y / Δ x - среднее приращение издержек производства на единицу продукции. Производная y’ = выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции: J(x) = y ‘ (x)



  • Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) x и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и т.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производительность и другие предельные величины. Предельные величины характеризуют не состояние, а процесс, изменение экономического объекта.

  • Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.



Эластичность функции

  • Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности функции.

  • Определение: Эластичностью функции Ex(y) называется предел отношения относительного приращения функции у к относительному приращению переменной x при Δx→0:

  • Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y=f(x) при изменении независимой переменной x на 1%.



Задачи

  • 1. Зависимость между издержками производства y (ден. ед.) и объемом выпускаемой продукции x (ед.) выражается функцией . Определить средние и предельные издержки при объеме продукции, равном 10 ед.

  • Решение: Функция средних издержек выражается отношением Y1 = y/x = , Y1(10) = 50-0,05•100 = 45 (ден.ед.). Функция предельных издержек выражается производной , y’(10) = 50-0,15•100 = 35 (ден. ед.).

  • Итак, если средние издержки на производство единицы продукции составляют 45 ден. ед., то предельные издержки, т.е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном уровне производства, составляют 35 дн.ед.



Задачи

  • 2. Зависимость между стоимостью единицы продукции y (тыс.руб.) и выпуском продукции x (млрд.руб.) выражается функцией y=-0,5x+80. Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млн.руб.

  • Решение: По формуле эластичности себестоимости Ex(y) =(-0,5x)/(-0,5x+80) = x/(x-160). При x = 60 Ex=60(y) = -0,6, т.е. При выпуске продукции, равном 60 млн. руб., увеличение его на 1% приведет к снижению себестоимости на 0,6%.



Задачи

  • 3. Объем продукции V, произведенный бригадой рабочих, задается уравнением ,

  • 1 ≤ t ≤ 8, где t – рабочее время в часах. Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания.

  • Решение: Производительность труда выражается формулой

  • П (t) = V ‘ (t) , П(t) = (ед./ч). В заданные моменты времени t1=1 и t2 = 8-1 = 7 имеем: П(1) = 112,5 (ед.ч) и П(7) = 82,5 (ед.ч). Итак, к концу рабочего дя производительность существенно снижается.



Задачи

  • 4. Опытным путем установлены функции спроса q=(p+8)/(p+2) и предложения s = p+0,5, где q и s – количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, p - цена товара. Найти: а) равновесную цену, т.е. цену, при которой спрос и предложение уравновешиваются; б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода при увеличении цены на 5%от равновесной.

  • Решение: а) Равновесная цена определяется из условия: q = s, т.е. (p+8)/(p+2) = p+0,5, откуда p = 2 – равновесная цена

  • б) Найдем эластичность по спросу и предложению: Ep(q) = (6p)/(p+2)(p+8); Ep(s) = 2p/(2p+1). Для p = 2 имеем: Ep=2(q) =-0,3; Ep=2(s) = 0,8. Таким образом, при увеличении цены p на 1% спрос уменьшится на 0,3%, а предложение увеличится на 0,8%.

  • в) При увеличении цены на 5% от равновесной спрос уменьшится на 5•0,3 = 1,5%, следовательно, доход возрастет на 3,5%.





Похожие:

Применение производной в экономике iconПрименение производной при решении задач применение производной при решении задач
Перевести задачу на язык функций выбрать удобный параметр (х), через который интересующую нас величину выразить как функцию f(x)
Применение производной в экономике iconТема: Производная и её применение (механический и геометрический смысл производной)
Учащиеся не видят связи между производной и скоростью, что понижает качество успеваемости как на уроках математики, так и на уроках...
Применение производной в экономике icon«Применение производной к исследованию функций. Схема исследования функции». практическое применение знаний и умений
«Кто смолоду делает и думает сам, тот становиться потом, надежнее, крепче, умнее» В. Шукшин
Применение производной в экономике iconВыполнили: Лысова О. Н. Кенжимбетова Г. У
«Определение производной. Геометрический смысл производной. Приложение производной к решению задач» Выполнили: Лысова О. Н
Применение производной в экономике iconЗадачи, приводящие к понятию производной. В начале было слово
К понятию производной можно прийти, рассматривая, например, такое широко используемое в физике понятие, как мгновенная скорость неравномерно...
Применение производной в экономике iconРешение: Чтобы найти ординату точки касания данной прямой и параболы вспомним, что k=f´(x₀), а по условию k=4
Вычислите значение производной f‘(x) в точке х0 = 1 В2 Функция у = f(x) определена на промежутке (-3; 4). На рисунке изображен её...
Применение производной в экономике icon1 Применяя геометрический смысл производной находить: 1 Применяя геометрический смысл производной находить
Угол,образованный касательной к графику функции с положительным направлением оси абсцисс в Тангенс угла наклона касательной
Применение производной в экономике iconЭкономическая география и регионы России Модуль 18
Продвижение к экономике без границ увеличило роль городов и в международной экономике, и во внутренних экономических системах
Применение производной в экономике iconI – Представление о глобализации и об экономике, основанной на знаниях (ЭЗ) Часть I – Представление о глобализации и об экономике, основанной на знаниях (ЭЗ)
I представление о глобализации и об экономике, основанной на знаниях (ЭЗ)
Применение производной в экономике iconУсиление роли федерального государства в российской экономике Усиление роли федерального государства в российской экономике
Первый раунд (осень 2005 г.): 1002 предприятия, 49 регионов РФ. Гу-вшэ, Всемирный банк, gfk-русь Второй раунд (февраль-июнь 2009):...
Разместите кнопку на своём сайте:
hnu.docdat.com


База данных защищена авторским правом ©hnu.docdat.com 2012
обратиться к администрации
hnu.docdat.com
Главная страница