Квадратные уравнения Кв уравнения в Древнем Вавилоне




НазваниеКвадратные уравнения Кв уравнения в Древнем Вавилоне
Дата конвертации31.03.2013
Размер445 b.
ТипРешение


Квадратные уравнения

  • Кв. уравнения в Древнем Вавилоне.

  • Кв. уравнения в Индии.

  • Квадратные уравнения в Европе 13-17 в.в.

  • Определение.

  • Неполные кв. уравнения.

  • Полное кв. уравнение.

  • Теорема Виета.

  • Теорема, обратная теореме Виета.

  • Кв. уравнения с комплексными переменными.

  • Решение кв. уравнений с помощью графиков.

  • Разложение кв. трехчлена на множители.

  • Применение кв. уравнений.

  • Практикум.

  • Заключение.


Кв. уравнения в Древнем Вавилоне. Главное меню

  • Необходимость решать уравнения  не только первой, но и второй степени ёщё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их  клинописных текстах  встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

  • Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.



Кв. уравнения в Индии. Главное меню

  • Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г. 

  • В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач.

  • В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: "Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи.

  • Задача знаменитого индийского математика  Бхаскары: 

  • Обезьянок резвых стая  Всласть  поевши, развлекаясь.  Их в квадрате часть восьмая  На поляне забавлялась.  А 12 по лианам.....  Стали прыгать, повисая.  Сколько было обезьянок,  Ты  скажи мне, в этой стае?



Квадратные уравнения в Европе 13-17 в.в. Главное меню

  • Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые  изложены в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.  

  • Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2+вх+с=0 , было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Штифелем.       

  • Вывод формулы решения квадратного уравнения  в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Лишь в 17 в. благодаря трудам Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.



Определение Главное меню

  • Уравнение вида ax2+bx+c=0, где a, b, c - действительные числа, причем a не равно 0, называют квадратным уравнением.

  • Если a = 1 , то    квадратное  уравнение    называют приведенным;

  •  если a ¹ 1, то    неприведенным .  Числа a, b, c носят следующие названия:a -первый коэффициент, 

  • b - второй коэффициент, c - свободный член.

  • Корни уравнения ax2+bx+c=0 находят по формуле

  •    Выражение D = b2- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

  • Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней;

  •  если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень;

  •  если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.  

  • В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение  имеет два одинаковых корня.

  •  

  •  Используя обозначение D = b2- 4ac, можно переписать формулу в виде

  • Если b = 2k, то формула  принимает вид:

  • Итак,

  • где k = b / 2. Последняя формула особенно удобна в тех случаях, когда b / 2 - целое число, т.е. коэффициент, b - четное число.



Неполные кв. уравнения Главное меню

  • Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.  

  • Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

  • Способы решения неполных квадратных уравнений:

  • 1)  c = 0 , то уравнение примет вид  

  • ax2+bx=0.                  

  •  x( ax + b ) = 0 ,

  •  x = 0 или ax + b = 0 ,        

  • x = -b : a .

  • 2) b = 0, то уравнение

  • примет вид

  • ax2 + c = 0 ,

  • x2 = -c : a ,

  • x1 = или x2 = -

  • 3) b = 0 и c = 0 , то уравнение примет вид

  • ax2 = 0,

  • x =0.  



Полное квадратное уравнение Главное меню

  • Если в квадратном уравнении второй коэффициент и свободный член не равны нулю, то такое уравнение называют полным квадратным уравнением.



Теорема Виета Главное меню

  • Теорема. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

  • Доказательство. Рассмотрим приведённое квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой p, а свободный член - буквой q:

  • Дискриминант этого уравнения D равен

  • Пусть D>0 .Тогда это уравнение имеет два корня:

  • и

  • Найдём сумму и произведение корней:



Теорема, обратная теореме Виета. Главное меню

  • Теорема. Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение

  • равно q, то эти числа являются корнями уравнения

  • Доказательство. По условию m+n=-p,а mn=q. Значит, уравнение

  • можно записать в виде

  • Подставив вместо x число m, получим:

  • Значит, число m является корнем уравнения.

  • Аналогично можно показать, что число n так же является корнем уравнения:

  • По праву в стихах быть воспета

  • О свойствах корней теорема Виета.

  • Что лучше, скажи, постоянства такого:

  • Умножишь ты корни и дробь уж готова:

  • В числителе С, в знаменателе А,

  • А сумма корней тоже дроби равна

  • Хоть с минусом дробь эта, что за беда-

  • В числителе b, в знаменателе a.



Кв. уравнения с комплексными переменными Главное меню

  • Сначала рассмотрим простейшее кв. уравнение

  • где a-заданное число, а z-неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

  • На множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень.

  • Задача1. Найти комплексные корни если а=-1

  • 1) Т.к. =-1, то это уравнение можно записать в виде , или .

  • Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем

  • Ответ:



Решение кв. уравнений с помощью графиков. Главное меню

  • Не используя формул квадратное уравнение можно решить графическим способом. Например

  • Решим уравнение

  • Для этого построим два графика(рис.1):



Разложение кв. трехчлена на множители Главное меню

  • Многочлен вида ax2+bx+c, где a,b,c - некоторые числа, x переменная, называется квадратным трёхчленом.

  • Пример 3x2+7x+9

  • Квадратный трехчлен разлагается на множители , где и корни трехчлена.

  • Дано: - квадратный трехчлен; и -корни его

  • Доказать:

  • Доказательство:

  • по теореме Виета следует,



Применение кв. уравнений Главное меню

  • Решение квадратных уравнений широко применяется в других разделах математики: в разложении квадратного трехчлена, в исследовании квадратичной функции, в решении уравнений высших степеней, в решении текстовых задач и задач по геометрии.

  •        

  • Некоторые уравнения высших степеней можно решить, сведя их к квадратному.

  • 1) Иногда левую часть уравнения легко разложить на множители, из  которых каждый - многочлен не выше 2-ой степени. Тогда приравнивая каждый многочлен к нулю, решаем полученные уравнения.

  • ПРИМЕР:

  • 2)  Если уравнение имеет вид ax2n+bxn+c= 0, его можно свести к квадратному, введя новую переменную   t = x.

  • ПРИМЕР: 

  • 3)  В геометрии:

  • Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10. Найти катеты, если один из них на 2 см. больше другого.

  • РЕШЕНИЕ: по теореме  Пифагора  a2+ b2= c2

  • Пусть х см.-1 катет, тогда (х+2) см.-2 катет.     

  • Составим уравнение:   x2+ (x+2)2= 102

  • Пифагор



Стр.1 Практикум Главное меню

  • Неполные кв. уравнения

  • Далее



Стр.2 Практикум Главное меню

  • Метод выделения полного квадрата.

  • Далее



Стр.3 Практикум Главное меню

  • Решение кв. уравнений по формуле b2-4ac

  • Далее



Стр.4 Практикум Главное меню

  • Приведённые кв. уравнения. Теорема Виета

  • Записать приведённое кв. уравнение, имеющее корни :

  • 1) 2)

  • 3) 4)

  • Решение

  • Воспользуемся т.Виета.

  • Далее



Стр.5 Практикум Главное меню

  • Решение кв. уравнений по теореме обратной т. Виета

  • Далее



Стр.6 Практикум Главное меню

  • Решение задач с помощью кв. уравнений.

  • Процессы Скорость км/ч Время ч. Расстояние км.

  • Поезд до задержки x 150

  • Поезд после задержки x+15 450

  • По расписанию x 600

  • _____________________________________________________________________

  • Зная, что поезд был задержан на 1,5 часа, сост.ур

  • ОДЗ

  • Далее



Стр.7 Практикум Главное меню

  • Решение задач с помощью кв. уравнений.

  • Процессы Скорость км/ч Время ч. Расстояние км.

  • Вверх по реке 10-x 35

  • Вверх по протоку 10-x+1 18

  • V течения x

  • V притока x+1

  • _____________________________________________________________

  • Зная, что скорость в стоячей воде равна 10 км/ч, сост.ур

  • ОДЗ

  • Далее



Стр.8 Практикум Главное меню

  • Решение задач с помощью кв. уравнений.

  • Было Изменилось Стало

  • Первый год 20000 200x 20000+200x

  • Второй год 20000+200x 200x+2x 20000+400x+2x

  • _____________________________________________________________________

  • Зная, что за 2 года население около 22050, сост.ур

  • Ответ:5%

  • Далее



Стр.9 Практикум Главное меню

  • Решение кв. уравнений по формуле k2-ac.



Заключение Главное меню

  • Делая этот доклад, я открыл для себя много интересного и нового о кв. уравнениях чего не мог прочитать в учебнике. Например, я узнал о том, что ещё в древности люди пользовались ими не зная, что это –кв. уравнения. В наше время невозможно представить себе решение как простейших , так и сложных задач не только в математике, но и в других точных науках , без применения решения кв. уравнений.

  • Надеюсь и вы открыли для себя что-нибудь новое.



Похожие:

Квадратные уравнения Кв уравнения в Древнем Вавилоне iconПриёмы устного решения квадратного уравнения
Квадратные уравнения это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение...
Квадратные уравнения Кв уравнения в Древнем Вавилоне iconКвадратные уравнения. Повторение Выполнила : Мельникова Ю. В

Квадратные уравнения Кв уравнения в Древнем Вавилоне iconГо порядка § 25 Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
Некоторые интегрируемые типы дифференциальных уравнений n-го порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка § 25 Линейные однородные...
Квадратные уравнения Кв уравнения в Древнем Вавилоне iconРешение неоднородного уравнения можно получить методом вариации постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения

Квадратные уравнения Кв уравнения в Древнем Вавилоне iconЛекция 5 Основные понятия
Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция, которая при любых значениях параметров является решением этого...
Квадратные уравнения Кв уравнения в Древнем Вавилоне icon1. Ввести понятие графика уравнения с двумя переменными. Ввести понятие графика уравнения с двумя переменными
Научить учащихся по графику линейного уравнения с двумя переменными находить его решения
Квадратные уравнения Кв уравнения в Древнем Вавилоне iconЗадача алгебры решение уравнений и систем уравнений
В 5 веке в трудах индийских математиков появились задачи, для решения которых требовались квадратные уравнения, но рассматривались...
Квадратные уравнения Кв уравнения в Древнем Вавилоне iconДифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Квадратные уравнения Кв уравнения в Древнем Вавилоне iconЗамена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x) Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x)
Метод можно применять только в том случае, когда y = h(x) монотонная функция, которая каждое свое значение принимает по одному разу....
Квадратные уравнения Кв уравнения в Древнем Вавилоне iconЛинейные уравнения с параметром необходимо привести к виду ax=b. Линейные уравнения с параметром необходимо привести к виду ax=b
В уравнениях с параметром ответ часто почти полностью дублирует решение, но при этом запись ответа обязательна
Разместите кнопку на своём сайте:
hnu.docdat.com


База данных защищена авторским правом ©hnu.docdat.com 2012
обратиться к администрации
hnu.docdat.com
Главная страница