Задачи на делимость Автор: Полищук Ксения Вячеславовна, 9-б класс




НазваниеЗадачи на делимость Автор: Полищук Ксения Вячеславовна, 9-б класс
Дата конвертации15.03.2013
Размер445 b.
ТипПрезентации


Задачи на делимость

  • Автор: Полищук Ксения Вячеславовна, 9-Б класс,

  • МОУ СОШ №266.

  • Научный руководитель: Демина Антонина Васильевна, учитель математики МОУ СОШ №266.


Некоторые признаки делимости натуральных чисел нам известны уже с 6 класса, например, признаки делимости на 2, на 3, на 5, на 9, на 10. Мы знаем теоремы:

  • Теорема 1. Если каждое слагаемое суммы делится на одно и то же число, то и сумма делится на это число.

  • Теорема 2. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и разность делится на это число.

  • Теорема 3. Если в произведении нескольких натуральных чисел хотя бы один из сомножителей делится на какое-то число, то и все произведение делится на это число.

  • Теорема 4. Если некоторое целое число делится на другое, а это другое – на третье, то и первое число делится на третье.



Формулировка других признаков делимости чисел

  • Основываясь на известных нам признаках делимости и теоремах 1- 4, можно сформулировать и признаки делимости на 4, на 6, на 8, на 15.

  • В дополнительной литературе я отыскала признаки делимости на 7, 11, 13, 19, 31. Но для решения очень многих задач на делимость этого оказалось недостаточно. Просматривая учебники математики разных авторов, я собрала достаточно большую коллекцию интересующих меня задач.



Сложность задач

  • Во множестве отобранных задач на делимость было очень трудно разобраться, но затем удалось разбить их на группы, каждая из которых имела какой-то определенный метод решения. А некоторые задачи можно было решить и не одним способом.

  • Во многих из этих задач есть такой элемент, который делает их непохожими на известные задачи, и возможно, потребует для решения некоторой сообразительности, смекалки, творческого подхода.

  • Для решения отобранных мною задач на делимость, я использовала методы, суть которых хочу показать на конкретных примерах.



Первый метод. Разложение на множители (или слагаемые)

  • Задача 1

  • Доказать, что n3+3n2+5n+3 делится на 3 при любом натуральном n.

  • Решение:

  • представим наш многочлен в виде суммы двух слагаемых:

  • n3+3n2+5n+3=n3+3n2+2n+3n+3=n(n2+3n+2)+3(n+1)=n(n+1)(n+2)++3(n+1), первое слагаемое есть произведение трех последовательных натуральных чисел, одно из которых обязательно делится на 3, а второе слагаемое содержит множитель 3, => оно делится на 3, а значит и вся сумма делится на 3.



Второй метод. Исключение целой части числа

  • Задача 1

  • Найти все целые x и y, удовлетворяющих уравнению x+y=xy.

  • Решение:

  • x+y=xy, <=> x-xy = -y,

  • x(1-y) = -y,

  • x = -y/(1-y)

  • x=y/(y-1)=(y-1+1)/(y-1)=1+(1/(y-1))

  • (1/(y-1)) є Z, если y-1=±1

  • y-1=1, y=2

  • y-1=-1, y=0

  • Если y=0, то x=0/(1-0)=0

  • Если y=2, то х=-2/(1-2)=2

  • Ответ: (0;0) и (2;2).



Третий метод. Равноостаточные классы

  • Задача1

  • Доказать, что разность между квадратом числа, которое не делится на 3, и единицей, делится на 3.

  • Решение:

  • Если число не делится на 3, то оно имеет вид 3k+1 или 3k+2. В первом случае разность между его квадратом и единицей равна (3k+1)2-1=9k2+6k+1-1=9k2+6k, во втором (3k+2)2-

  • - 1=9k2+12k+4-1=9k2+12k+3. В обоих случаях разность делится на 3, т.к. каждое слагаемое делится на 3.



Четвертый метод. Применение теоремы Безу

  • Задача1

  • Доказать, что выражение 35n-2*5n+11n делится на 6 при любом натуральном n.

  • Решение:

  • Запишем наше выражение в таком виде: 35n -

  • - 2*5n+11n=(35n-5n)+(11n-5n), тогда 35n - 5n делится на разность оснований степеней, т.е. на 35 - 5=30, а следовательно, делится и на 6, 11n -

  • -5n также делится на разность оснований 11-5=6.



Пятый метод. Четность и нечетность чисел

  • Задача1

  • Доказать, что уравнение x2+1974=y2 не имеет решений в целых числах.

  • Решение:

  • Предположим, что уравнение имеет решения в целых числах. Запишем данное уравнение в таком виде: 1974=y2-x2. Так как 1974 четное число, то, чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы разность y2-x2 была четным числом, а это возможно только тогда, когда x и у числа одинаковой четности, т.е. x и у одновременно четные, или оба нечетные числа.

  • 1974=y2-x2 , <=> 1974=(у - х)(у + х). Правая часть делится на 4, а левая – нет, значит, целых решений уравнение не имеет.



Шестой метод. Квадрат натурального числа

  • Задача1

  • Доказать, что уравнение 13х2+6=5у2 не имеет решений в целых числах.

  • Решение:

  • Если х=2а, то у=2b, тогда 13*4а2+6=5*4b2. Если x нечетное, то и у нечетное, тогда имеем: 13*(4а2+4а+1)+6=5(4b2+4b+1) 13*4а2+13*4а+13+6=5*4b2+5*4b+5, тогда 14=4(5b2+5b-13a2-13a)

  • Равенство невозможно, т.к. правая часть делится на 4, а левая – не делится.



Седьмой метод. Бином Ньютона

  • Задача1

  • Доказать, что 62n+3n+2+3n делится на 11 при всех натуральных n.

  • Решение:

  • 62n+3n(9+1)=36n+10*3n=(33+3)n+10*3n. Все члены разложения бинома, кроме последнего, имеют множителем число 33, следовательно, делятся на 11. Последний член разложения – 3n. Тогда данное число можно записать так: 36n+10*3n=33A+11*3n, где А – частное от деления n первых членов разложения бинома Ньютона на 33. Но если каждое слагаемое делится на 11, то и сумма делится на 11.



Восьмой метод. Малая теорема Ферма

  • Задача1

  • Найти остаток от деления 230 на 13.

  • Решение:

  • 230=226*24=413*16-16*4+16*4=16(413-4)+64. Первое слагаемое делится на 13 по теореме Ферма, а так как 64=13*4+12, то остаток от деления равен 12.



Девятый метод. Последняя цифра числа

  • Задача1

  • Какой остаток при делении на 5 дает число 33333?

  • Решение:

  • 33333=33332+1 – число оканчивается цифрой 3, остаток от деления на 5 есть 3.



Заключение

  • Работая над темой «Задачи на делимость», я провела анализ ее применения в 6-11 классах средней общеобразовательной школы. Познакомилась с различными способами решения этих задач. Выяснила, что решение задач данной тематики особенно актуально, так как они часто встречаются в олимпиадах по математике, а также на вступительных экзаменах в различные ВУЗы.

  • Данную работу можно использовать в качестве элективного курса по математике, так как в ней воедино собраны все виды задач на делимость.



Похожие:

Задачи на делимость Автор: Полищук Ксения Вячеславовна, 9-б класс iconУрок математики в 3 «А» классе моу «сош №1»
Учебник Н. Б. Истоминой «Математика 3 класс» Тетрадь по математике «Учимся решать задачи» 3 класс, автор Н. Б. Истомина Тетрадь по...
Задачи на делимость Автор: Полищук Ксения Вячеславовна, 9-б класс iconКаменских Ксения, 8 класс

Задачи на делимость Автор: Полищук Ксения Вячеславовна, 9-б класс iconМетод прямых в одной задачи “реакция-диффузия” Студентка: Фролова Ксения Владимировна

Задачи на делимость Автор: Полищук Ксения Вячеславовна, 9-б класс iconПрименение Бетасерка после операций на среднем и внутреннем ухе Борисенко О. Н., Сушко Ю. А., Мищанчук Н. С., Сребняк И. А., Полищук Г. С., Сербин Г. С
Борисенко О. Н., Сушко Ю. А., Мищанчук Н. С., Сребняк И. А., Полищук Г. С., Сербин Г. С
Задачи на делимость Автор: Полищук Ксения Вячеславовна, 9-б класс iconУрок на конкурс «Лучший урок письма»
Автор: Воронина Лариса Вячеславовна, учитель русского языка и литературы моу «Андреевская средняя общеобразовательная школа» Судогодского...
Задачи на делимость Автор: Полищук Ксения Вячеславовна, 9-б класс iconРайонная научно-практическая конференция учащихся " ехсеlsior" Секция физика Выявление причин дтп лесова Ксения 7 класс моу «Кумашская оош» Вурнарского р-на, консультант: Тихонова И. А

Задачи на делимость Автор: Полищук Ксения Вячеславовна, 9-б класс iconМиронова Татьяна Вячеславовна Миронова Татьяна Вячеславовна
Информационно-коммуникационные технологии предполагают использование компьютера для поиска, передачи, сохранения, структурирования...
Задачи на делимость Автор: Полищук Ксения Вячеславовна, 9-б класс iconВыдающиеся деятели просвещения и культуры в моей родословной Автор: Ушатикова Ксения
Цель работы: изучение истории рода по материнской линии и выявление наиболее выдающихся его представителей, внесших значительный...
Задачи на делимость Автор: Полищук Ксения Вячеславовна, 9-б класс iconАвтор: Шестакова Ирина Александровна, 7 б класс, гимназии №6 г. Мурманска
Б класс, гимназии №6 г. Мурманска Руководители: Гардалоева Т. А., учитель технологии
Задачи на делимость Автор: Полищук Ксения Вячеславовна, 9-б класс iconСвятая Блаженная Ксения Петербургская и храм святого апостола Матфия
К числу лиц истинно-юродивых Христа ради, к числу истинно блаженных, прошедших весь путь нравственного самоусовершенствования и всецело...
Разместите кнопку на своём сайте:
hnu.docdat.com


База данных защищена авторским правом ©hnu.docdat.com 2012
обратиться к администрации
hnu.docdat.com
Главная страница