Лекция 4 Уравнение первого порядка




НазваниеЛекция 4 Уравнение первого порядка
Дата конвертации12.03.2013
Размер445 b.
ТипЛекция


Обыкновенные дифференциальные уравнения

  • Лекция 4


Уравнение первого порядка

  • Функциональное уравнение

  • F(x,y,y) = 0 или y= f(x,y), связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию y(x) и ее производную y(x), называется дифференциальным уравнением первого порядка.



Решение дифференциального уравнения

  • Решением уравнения первого порядка называется всякая функция y=(x), которая, будучи подставлена в уравнение вместе со своей производной y=(x), обращает его в тождество относительно x.



Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка

  • Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется такая функция y = (x,C), которая при любом значении параметра C является решением этого дифференциального уравнения. Уравнение Ф(x,y,C) =0, определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.



Уравнение, разрешенное относительно производной

  • Если уравнение 1-го порядка разрешить относительно производной, то оно может быть представлено в виде

  • Его общее решение геометрически представляет собой семейство интегральных кривых, т. е. совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной C.



Постановка задачи Коши

  • Задача отыскания решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию при ,называется задачей Коши для уравнения 1-го порядка.

  • Геометрически это означает: найти интегральную кривую дифференциального уравнения , проходящую через данную точку .



Уравнение с разделяющимися переменными

  • Дифференциальное уравнение

  • называется уравнением с разделенными переменными.

  • Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид:

  • .

  • Для решения уравнения делят обе его части на произведение функций , а затем интегрируют.



Пример

  • Разделим переменные в уравнении

  • Интегрируем:

  • Имеем: .



Понятие однородной функции

  • Функция z=f(x,y) называется однородной порядка k, если при умножении ее аргументов на t получаем:

  • Если k=0, то имеем функцию нулевого порядка. Например, функция

  • нулевого порядка.



Однородные уравнения

  • Дифференциальное уравнение первого

  • порядка называется однородным, если его можно привести к виду y=

  • или к виду

  • где и – однородные функции одного порядка .



  • Разрешим уравнение

  • относительно производной :

  • Разделив числитель и знаменатель

  • дроби на , имеем:



  • Интегрируем:

  • Исключая вспомогательную функцию и, окончательно получим:

  • или



Линейные уравнения 1-го порядка

  • Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит и в первой степени, т.е. имеет вид

  • .

  • Решают такое уравнение с помощью подстановки y=uv, где u и v-вспомогательные неизвестные функции, которые находят, подставляя в уравнение вспомогательные функции и на одну из функций налагают определенные условия.



Уравнение Бернулли

  • Уравнением Бернулли называется уравнение 1-го порядка, имеющее вид

  • ,

  • где и

  • Его, как и линейное уравнение решают с помощью подстановки



  • Линейное уравнение

  • решим с помощью подстановки y=uv, где u и v-вспомогательные неизвестные функции.

  • Приравняем к нулю выражение в скобках:

  • Тогда

  • Найдем v:



Похожие:

Лекция 4 Уравнение первого порядка iconДифференциальные уравнения высших порядков. Общие сведения
Дифференциальное уравнение содержащее производную функции двух и более порядков, называется дифференциальным уравнением порядка высшее...
Лекция 4 Уравнение первого порядка iconЛекция 6 Вывод формул общего решения лоу 2-го порядка
Если, то характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня и, где и
Лекция 4 Уравнение первого порядка iconЛекция 4 «Особенности численного решения ду 2-го порядка, уравнений эллиптического типа»
Знакомство с методами решения основных видов дифференциальных уравнений 2-го порядка
Лекция 4 Уравнение первого порядка iconЛекция 3 Дрейфовое кинетическое уравнение Уравнения переноса

Лекция 4 Уравнение первого порядка iconГо порядка § 25 Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
Некоторые интегрируемые типы дифференциальных уравнений n-го порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка § 25 Линейные однородные...
Лекция 4 Уравнение первого порядка iconI поверхности второго порядка введение
Цель моего реферата ознакомиться с поверхностями второго порядка, а именно: понять, что они из себя представляют
Лекция 4 Уравнение первого порядка iconПоверхности второго порядка
Поверхностью второго порядка s называется геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению...
Лекция 4 Уравнение первого порядка iconЛекция 5 Основные понятия
Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция, которая при любых значениях параметров является решением этого...
Лекция 4 Уравнение первого порядка iconВолны в упругой среде. Уравнение волны. Характеристики. Волны в упругой среде. Уравнение волны. Характеристики
Ультразвуковые колебания. Воздействия ультразвука на биологические ткани Эффект Доплера и его применение в медицине
Лекция 4 Уравнение первого порядка iconЛекция 18. Устойчивость стационарного движения вязкой среды
Устойчивость стационарного движения вязкой среды: 10 Общее уравнение для пульсационной составляющей скорости, 10 Критическое число...
Разместите кнопку на своём сайте:
hnu.docdat.com


База данных защищена авторским правом ©hnu.docdat.com 2012
обратиться к администрации
hnu.docdat.com
Главная страница