Решение неоднородного уравнения можно получить методом вариации постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения




НазваниеРешение неоднородного уравнения можно получить методом вариации постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения
Дата конвертации12.03.2013
Размер444 b.
ТипРешение


Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами


Метод вариации постоянных

  • Решение неоднородного уравнения можно получить методом вариации постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

  • Суть метода в следующем.

  • Если известна фундаментальная система решений y1(x), y2(x), …, yn(x) соответствующего однородного уравнения, решение неоднородного уравнения ищется в виде

  • y(x) = C1(x) y1(x) + C2(x) y2(x) + …+ Cn(x) yn(x).



Метод вариации постоянных

  • Тогда



Метод вариации постоянных

  • Опять положим

  • и т.д.



Метод вариации постоянных

  • Для n-ой производной получим

  • Подставляя выражения для производных в неоднородное уравнение и учитывая, что функции yi(x) удовлетворяют соответствующему однородному уравнению, получим



Метод вариации постоянных

  • Вместе с принятыми ранее соотношениями для производных получим систему уравнений



Метод вариации постоянных

  • Находя решение и интегрируя, найдём Ci(x) (i = 1, 2, …, n), а значит, и общее решение неоднородного уравнения

  • y(x) = C1(x) y1(x) + C2(x) y2(x) + …+ Cn(x) yn(x).



Решите уравнения

  • Решить задачу Коши для однородного дифференциального уравнения

  • y'' + 2y' + 3y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 1.

  • Решить задачу Коши y'' + y' = 0, y(0)=1, y'(0)=0.

  • Решить задачу Коши y'' - y' = 0, y(0)= 1, y' (0)=1.

  • Решить задачу Коши y'' + 4y'+ 4y= 0, y(0)=1, y' (0)=-2.

  • Решить задачу Коши y'' - y' + 2y= 0,  y(0)=- 1, y' (0)=0.

  • Решить задачу Коши y'' + y' - 3y= 0,   y(0)=0, y' (0)=1.

  • Решить методом вариации постоянных y’’+4y’-5y=x ex.

  • Решить методом вариации постоянных y’’-3y’+2y=e3x.



Похожие:

Решение неоднородного уравнения можно получить методом вариации постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения icon1 научить узнавать уравнения, которые можно решать методом оценки; 1 научить узнавать уравнения, которые можно решать методом оценки
А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f(X) = g(X) равносильно на промежутке Х системе уравнений
Решение неоднородного уравнения можно получить методом вариации постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения iconКвадратные уравнения Кв уравнения в Древнем Вавилоне
Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать,...
Решение неоднородного уравнения можно получить методом вариации постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения iconЛекция 4 Уравнение первого порядка
Уравнение Ф(x,y,C) =0, определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения
Решение неоднородного уравнения можно получить методом вариации постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения iconРешение задач с помощью дробных рациональных уравнений
Если x1 и x2 корни приведённого квадратного уравнения, то справедливы равенства …
Решение неоднородного уравнения можно получить методом вариации постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения iconЗамена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x) Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x)
Метод можно применять только в том случае, когда y = h(x) монотонная функция, которая каждое свое значение принимает по одному разу....
Решение неоднородного уравнения можно получить методом вариации постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения iconЛинейные уравнения с параметром необходимо привести к виду ax=b. Линейные уравнения с параметром необходимо привести к виду ax=b
В уравнениях с параметром ответ часто почти полностью дублирует решение, но при этом запись ответа обязательна
Решение неоднородного уравнения можно получить методом вариации постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения iconПриёмы устного решения квадратного уравнения
Квадратные уравнения это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение...
Решение неоднородного уравнения можно получить методом вариации постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения iconРешение квадратного уравнения
...
Решение неоднородного уравнения можно получить методом вариации постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения iconГо порядка § 25 Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
Некоторые интегрируемые типы дифференциальных уравнений n-го порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка § 25 Линейные однородные...
Решение неоднородного уравнения можно получить методом вариации постоянных, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения iconЗакон сохранения трехмерного момента (3 скалярных уравнения движения)
Как известно, еще в 1904 г. В. Бьеркнес указал, что для описания атмосферных процессов можно использовать систему 7 уравнений гидротермодинамики...
Разместите кнопку на своём сайте:
hnu.docdat.com


База данных защищена авторским правом ©hnu.docdat.com 2012
обратиться к администрации
hnu.docdat.com
Главная страница