Правила Дифференцирования




НазваниеПравила Дифференцирования
Дата конвертации12.03.2013
Размер445 b.
ТипПравила



Дифференциальное исчисление функции одной переменной.



Определение производной

    • Производной функции y=f(x) в точке х0
    • Называется , если этот предел существует. Производная обозначается или . Таким образом, =.


Таблица производных







Правила Дифференцирования

  • Пусть u=u(x) и v=v(x) – функции, дифференцируемые в точке х. Тогда в этой точке дифференцируемы функции u+v, u∙v, . Последнее при условии, что v´(x)≠0. Причем, (u+v)´=u´+v´, (uv)´=u´v+uv´, .



Производная сложной функции

  • Пусть y=f(u), а u=φ(x). Тогда функция y=f(φ(x)) называется сложной функцией от х.

  • Теорема. Если функция u=φ(x) имеет производную в точке х, а функция y=f(u) имеет производную в соответствующей точке u=φ(x), то сложная функция y=f(φ(x)) имеет производную в точке х, причем .





Дифференцирование функций, заданных параметрически

  • Пусть функция y от х задана параметрически уравнениями: x=x(t), y=y(t), t (α;β).



Пример

  • x=cos3t, y=sin3t. Вычислить yx´´.



Дифференцирование функций, заданных неявно.

  • Вычислить y´x, если y5+xy-x2=0.

  • Продифференцируем обе части по х. Получим 5y4y´+y+xy´-2x=0, откуда y´(5y4+x)=2x-y и



Логарифмическое дифференцирование

  • Найти производную функции y=(sinx)x.

  • Логарифмируем функцию по основанию е: lny=x.lnsinx. Дифференцируем обе части равенства по х: ∙y´=lnsinx+x∙ctgx

  • отсюда y´=y∙(lnsinx+x∙ctgx) или y´=(sinx)x∙(lnsinx+x∙ctgx).



Дифференциал функции

  • dy=f´(x)∙dx



Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях!



Теорема Ферма

  • Пусть функция y=f(x) определена в интервале (a;b) и принимает в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (a;b) значение. Если существует f´(c), то f´(c)=0



Теорема Ролля

  • Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и f(a)=f(b)=0. Тогда ее производная f´(х) обращается в ноль хотя бы в одной точке c (a;b).



Теорема Лагранжа

  • Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в интервале (a;b). Тогда существует хотя бы одна точка c (a;b), для которой выполняется условие:



Теорема Лопиталя (правило Лопиталя).

  • Пусть f(x) и φ(x) – функции, непрерывные на [a;b], дифференцируемые на (a;b); φ´(x)≠0 при всех х (a;b) и f(a)=φ(a)=0. Тогда если существует , то существует причем :



Пример



Применение производной к исследованию функций

  • Применение производной к исследованию функций



Экстремумы функции.

  • Экстремумы функции.



Необходимо условие монотонности функции

  • Если дифференцируемая в интервале (a;b) функция y=f(x) возрастает (убывает) на (a;b), то для всех х(a;b) f´(x)≥0 (f´(x)≤0)



Достаточный признак существования экстремума

  • Если непрерывная на интервале функция y=f(x) имеет производную f´(x) во всех точках этого интервала, за исключением, может быть, критической точки с, принадлежащей этому интервалу, и если f´(x) при переходе аргумента слева направо через критическую точку с меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция в точке с имеет максимум (минимум)



Выпуклость и вогнутость графика функции

  • График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым) в интервале (a;b), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале



Достаточный признак выпуклости и вогнутости

  • Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную f´(x) во всех точках интервала (a;b). Если во всех точках этого интервала f´(x)<0 (f´(x)>0), то график на (a;b) выпуклый (вогнутый).



Достаточный признак существования точки перегиба

  • Если вторая производная f´(x) непрерывной функции меняет знак при переходе аргумента через точку х0, то точка (x0;f(x0)) является точкой перегиба графика функции.



Асимптоты графика функции

  • Асимптотой графика функции y=f(x) называется прямая, расстояние от которой до текущей точки графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.



План исследования функции и построение графика

  • Область определения функции.

  • Точки пересечения графика функции с осями координат.

  • Четность, нечетность функции.

  • Исследование функции на непрерывность. Вертикальные асимптоты.

  • Невертикальные асимптоты.

  • Интервалы монотонности и экстремумы.

  • Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

  • Дополнительные точки, , периодичность (по мере необходимости).

  • Построение графика.



Пример Исследовать функцию и построить ее график.

  • Область определения:

  • так как при х=-2 и х=2 знаменатель дроби обращается в ноль.



  • 2. Пусть х=0, тогда у=0. Пусть у=0, тогда , откуда х=0.

  • (0;0) – точка пересечения графика с осями координат



  • - функция четная.



4. Функция имеет разрывы в точках х=-2 и х=2, так как f(-2) и f(2) не определены.

  • 4. Функция имеет разрывы в точках х=-2 и х=2, так как f(-2) и f(2) не определены.

  • , ,

  • , ,

  • следовательно, х=-2 и х=2 – точки разрыва II рода и прямые х=-2 и х=2 – вертикальные асимптоты.



5.Невертикальные асимптоты

  • 5.Невертикальные асимптоты

  • следовательно, прямая у=1 – асимптота.



6.

  • 6.

  • у´=0, если -8х=0, откуда х=0 – критическая точка. Откуда х=-2 и х=2 – критические точки.

  • На интервалах (-∞;-2) и (-2;0) функция возрастает, а на интервалах (0;2) и (2;+∞) – убывает.

  • Уmax(0)=0.



7.

  • 7.

  • у´´≠0 при х(-∞;∞), х=-2 и х=2 – критические точки второго порядка.

  • На интервалах (-∞;-2) и (2;+∞) – график функции вогнутый, а на интервале (-2;2) – выпуклый. Точек перегиба нет





Похожие:

Правила Дифференцирования iconПравила поведения за столом Правила пользования столовыми приборами Правила пользования салфетками Правила употребления некоторых блюд
Садиться и вставать из-за стола можно только с разрешения присутствующих; раскачиваться на стуле нельзя
Правила Дифференцирования iconПравила работы Настройка приборов Правила измерения Правила обработки результатов Правила оформления лабораторной работы Рабочее окно
Схема, расположенная на монтажном столе, будет сохранена в указанном файле и папке. На монтажном столе схема остается. В дальнейшем,...
Правила Дифференцирования iconСтепенные функции их свойства и графики
Показать возможные варианты графиков степенной функции в зависимости от показателя степени. Рассмотреть их свойства и возможности...
Правила Дифференцирования iconПравила оптового рынка Правила розничного рынка и поправки в Основы ценообразования Правила оказания коммунальных услуг в работе
Поправки в фз-35 и Жилищный Кодекс (право на прямые расчеты с рсо, но не прямые договоры) готовится ко второму чтению
Правила Дифференцирования iconПравила для руководителя рцои правила для руководителя ппои правила для ответственного за приемку экзаменационных материалов в рцои (ппои)
«егэ стал новым явлением, которое, по сути, создает первый опыт общегосударственной аттестации знаний учеников»
Правила Дифференцирования iconПравила деятельности гп(гарантирующего поставщика) на розничных рынках и правила заключения и исполнения публичных договоров с гп порядок проведения договорной кампании

Правила Дифференцирования iconДля того чтобы обезопасить себя от заражения кишечными паразитами и болезнетворными микроорганизмами, надо соблюдать простейшие правила гигиены
В древности люди считали причиной болезней неблагосклонность богов. Однако уже тогда они создали правила, которые надо было соблюдать,...
Правила Дифференцирования iconПравила для пассажиров Статистика. Адреса Интернет. Правила дорожного движения Правила дорожного движения
Впрочем, народ быстро сообразил, что от автомобиля пользы намного больше, чем вреда, и на стыке 19-20-х веков число автомобилей стало...
Правила Дифференцирования iconЗначения x[k +1] дискретного отсчета искомого решения дифференциального уравнения информацию об одном предыдущем k -ом шаге расчета. Рассмотрим следующие примеры одношаговых методов. Эти методы используют для вычисления очередного
...
Правила Дифференцирования iconПравила п19 Правила п19 №509(а,б,в) №510(а,б,в) Тренинг в uztest ru Сформулируйте определение квадратного уравнения

Разместите кнопку на своём сайте:
hnu.docdat.com


База данных защищена авторским правом ©hnu.docdat.com 2012
обратиться к администрации
hnu.docdat.com
Главная страница