Лекция 4 Дифференциальное исчисление функций одной переменной




НазваниеЛекция 4 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Дата конвертации12.03.2013
Размер445 b.
ТипЛекция


Элементы дифференциального исчисления

  • Лекция 4


Дифференциальное исчисление функций одной переменной

  • 1. Производные

  • 2. Таблица производных

  • 3. Дифференциал

  • 4. Производные и дифференциалы высших порядков

  • 5. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

  • 6.Применение производных к исследованию функций

  • 7. Общая схема исследования функции и построение графика



Производная. Задача о касательной

  • Определение. Если существует предельное положение

  • секущей при стремлении вдоль по кривой, то оно называется касательной к графику функции в точке .



Производная. Задача о касательной

  • Обозначим угол наклона касательной к графику функции в точке

  • Очевидно, при а

  • стремится к

  • .

  • Тогда угловой коэффициент касательной равен .



Производная. Определение

  • Пусть функция у = определена в интервале и пусть точка

  • Рассмотрим далее точку

  • В обеих точках вычислим значения функции и разность .

  • Эту разность будем называть приращением функции в фиксированной точке .



Производная. Определение

  • Если существует конечный (или бесконечный)

  • = ,

  • то он называется конечной (или бесконечной) производной функции в точке и обозначается

  • символами или , т.е.



Примеры

  • Ясно, что угловой коэффициент касательной равен производной в точке касания. Приведем примеры.



Уравнение касательной

  • Касательную как прямую, проходящую через точку касания , задают уравнением . Например, уравнение касательной к кривой в точке (1;2) имеет вид у-2=2(х-1) или 2х-у=0.



Теоремы о производных



Теоремы о производных



Теоремы о производных



Теоремы о производных

  • Например:



Примеры



Примеры



Производная обратной функции

  • Теорема. Пусть функция х=f(y) монотонна и дифференцируема в некотором интервале (a,b) и имеет в точке у этого интервала не равную нулю производную . Тогда в соответствующей точке х обратная функция имеет производную

  • или .



Примеры

  • Для функции y=arcsinx обратной является функция x=siny , которая в интервале (-π/2;π/2) монотонна и дифференцируема. Ее производная в этом интервале в нуль не обращается. Поэтому



Примеры

  • Итак,

  • Аналогично можно получить



Теорема о производной сложной функции



Производная степенной функции

  • Справедливо тождество

  • Тогда



Производные гиперболических функций

  • Гиперболическими называют функции



Производные гиперболических функций

  • Поэтому



Таблица производных



Таблица производных

  • 13. 14.



  • Лекция 5



Дифференцируемая функция



Дифференциал функции



Определение дифференциала

  • Пусть приращение функции в точке может быть представлено в виде

  • , где -приращение аргумента, А-величина, не зависящая от , -бесконечно малая более высокого порядка ,

  • чем при



Определение дифференциала

  • Тогда главная линейная относительно

  • часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке и обозначается .

  • Итак, по определению .

  • Теорема. Для того чтобы в точке х функция имела дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела производную.



Дифференциал функции



Дифференциал функции



Дифференциал функции



Инвариантность дифференциала

  • По правилу дифференцирования сложной функции

  • Здесь форма дифференциала остается неизменной, но под дифференциалом аргумента понимается не приращение этого аргумента, а его дифференциал.



Производные высших порядков



Дифференциалы высшего порядка

  • Дифференциал от дифференциала данной функции называется ее дифференциалом второго порядка и обозначается . По определению

  • Итак, и т.д.



Дифференцирование функций, заданных параметрически

  • Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями

  • И пусть эти функции дифференцируемы. Тогда Если существует вторая производная, то



Пример

  • Найти производную функции

  • Имеем



Производные неявных функций

  • Пусть значения х и у связаны уравнением F(x,y)=0. Если функция у=f(х), определенная на некотором промежутке, при подстановке ее вместо у в уравнение F(x,y)=0 обращает это уравнение в тождество, то говорят, что это уравнение задает функцию у=f(х) неявно.



Пример

  • Продифференцируем функцию

  • .

  • Имеем . Отсюда



Продолжение

  • Найдем вторую производную.

  • Так как то



Логарифмическое дифференцирование

  • Найти производную функции

  • Прологарифмируем обе части:

  • Теперь берем производную

  • Окончательно



Похожие:

Лекция 4 Дифференциальное исчисление функций одной переменной iconЛекция 4 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Общая схема исследования функции и построение графика Производная. Задача о касательной
Лекция 4 Дифференциальное исчисление функций одной переменной iconЭлементы дифференциального исчисления Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Изобразим график функции, непрерывной в интервале. Найдем, изобразим соответствующую точку на графике. Дадим приращение, найдем,...
Лекция 4 Дифференциальное исчисление функций одной переменной iconДифференциальное исчисление функций многих переменных Частные производные
Для исследования функции на локальный и условный экстремум используется команда из стандартной библиотеки
Лекция 4 Дифференциальное исчисление функций одной переменной iconДифференциальное исчисление в экономике Эластичность функции
Ценовая эластичность спроса ed -это величина, характеризующая то, как спрос реагирует на изменение цены
Лекция 4 Дифференциальное исчисление функций одной переменной iconЛекция 5: динамика тела переменной массы

Лекция 4 Дифференциальное исчисление функций одной переменной iconЗако́ны Ньюто́на
«Математические начала натуральной философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой...
Лекция 4 Дифференциальное исчисление функций одной переменной iconIsbl (Information System Base Language)
Язык, в котором можно (по крайней мере) моделировать исчисление с переменными-кортежами, либо, что равносильно, реляционную алгебру...
Лекция 4 Дифференциальное исчисление функций одной переменной iconОбобщение знаний по теме: Производная элементарных функций, степенной функции, логарифмической и показательной функций, тригонометрических функций, сложной функции

Лекция 4 Дифференциальное исчисление функций одной переменной iconГрафики функций, связанных с модулем. Занятие по элективному курсу «Избранные вопросы математики» в 11 классе
Графики функций вида y = |f(X)| с помощью графика функций y = f(X) можно построить график функции y = |f(X)|
Лекция 4 Дифференциальное исчисление функций одной переменной iconРешение квадратного уравнения
...
Разместите кнопку на своём сайте:
hnu.docdat.com


База данных защищена авторским правом ©hnu.docdat.com 2012
обратиться к администрации
hnu.docdat.com
Главная страница