Дифференциальное исчисление функций многих переменных Частные производные




НазваниеДифференциальное исчисление функций многих переменных Частные производные
Дата конвертации12.03.2013
Размер445 b.
ТипПрезентации


Дифференциальное исчисление функций многих переменных

  • Частные производные

  • >diff(f,x1$n1,x2$n2,…, xm$nm), где x1,…, xm – переменные, по которым производится

  • дифференцирование, а после знака $ указаны соответствующие порядки дифференцирования

  • записывается в виде: diff(f,x,y).


Примеры

  • Найти и функции

  • > f:=arctan(x/y):

  • >Diff(f,x)=simplify(diff(f,x));

  • > Diff(f,y)=simplify(diff(f,y));



  • >restart; f:=(x-y)/(x+y):

  • > Diff(f,x$2)=simplify(diff(f,x$2));

  • > Diff(f,x,y)=diff(f,x,y);



Локальные и условные экстремумы функций многих переменных.

  • Для исследования функции на локальный и условный экстремум используется команда из стандартной библиотеки

  • >extrema(f,{cond},{x,y,…},'s'), где cond – ограничения для поиска условного экстремума, которые записываются в виде равенств. После ограничений в фигурных скобках указываются все переменные, от которых зависит функция f, а затем в кавычках записывается s – имя переменной, которой будут присвоены координаты точек экстремума. Если ограничений не указывать, то будет производиться поиск локального экстремума.



Наибольшее и наименьшее значения

  • >maximize(f,{x1,…,xn},range),

  • >minimize(f,{x1,…,xn}, range),

  • range-интервалы для каждой переменной, указывающие область поиска наибольшего и наименьшего значений.



Примеры

  • Найти экстремумы функции

  • >restart: readlib(extrema):

  • > f:=2*x^4+y^4-x^2-2*y^2:

  • > extrema(f,{},{x,y},'s');s;

  • >subs([x=1/2,y=1],f);



Примеры

  • > restart: readlib(maximize):readlib(minimize):

  • > f:=x^2+2*x*y-4*x+8*y:

  • > maximize(f,{x,y},{x=0..1,y=0..2});

  • 17

  • > minimize(f,{x,y},{x=0..1,y=0..2});

  • -4



Примеры

  • Найти условные экстремумы функции

  • f(х,у)=xy+yz при условиях

  • x2+y2=2, y+z=2, x>0, y>0, z>0

  • >restart: readlib(extrema): f:=x*y+y*z:

  • >assume(x>0);assume(y>0);assume(z>0);

  • >simplify(extrema(f,{x^2+y^2=2,y+z=2},{x,y,z},'s'));



  • {min(3/2RootOf(_Z2+4_Z+1)+1/2, 0), max(3/2RootOf(_Z2+4_Z+1)+1/2, 2)}

  • >convert(%,radical); convert(s,radical);

  • {min

  • max }



Примеры на условный экстремум

  • >restart: with(simplex):

  • f:=-x+2*y+3*z:

  • > cond:={x+2*y-3*z<=4, 5*x-6*y+7*z<=8,

  • 9*x+10*z<=11}:

  • > maximize(f,cond,NONNEGATIVE );



Векторный анализ. Библиотека linalg.

  • В Maple grad вычисляется одноименной командой

  • >grad(f,[x,y,z],c),

  • где f – функция,

  • [x,y,z] – набор переменных, от которых она зависит.

  • c- параметр позволяет вычислять данную дифференциальную операцию в различных криволинейных координатах (по умолчанию

  • используется прямоугольная декартова система координат).

  • Для вычисления дифференциальной операции в цилиндрических координатах следует записать coords=cylindrical,в сферических координатах – coords=spherical.



Пример

  • Дана функция

  • Найти

  • Найти производную функции u(x,y)

  • по направлению вектора q=[1,1].

  • >restart: with(linalg):

  • > u:=arctan(y/x): g:=simplify(grad(u, [x, y]));



Пример

  • >q:=vector([1,1]);e:=normalize(q);

  • q:=[1, 1]

  • е:=

  • duq:=simplify(dotprod(g,e));

  • duq=



Ряды и произведения

  • >sum(expr, n=a..b) , где expr – выражение, зависящее от индекса суммирования, a..b – пределы индекса суммирования, указывающие, что суммировать следует от n=a до n=b (n=infinity).

  • >product(P(n),n=a..b)



Пример

  • Найти полную и N-частичную суммы ряда, общий член которого равен:

  • an=

  • >restart:a[n]:=1/((3*n-2)*(3*n+1));

  • >S[N]:=Sum(a[n], n=1..N)=sum(a[n], n=1..N);

  • > S:=limit(rhs(S[N]), N=+infinity);



Пример

  • Вычислить бесконечное произведение

  • >Product((n^3-1)/(n^3+1),n=2..infinity)

  • =simplify(product((n^3-1)/(n^3+1), n=2..infinity));



Разложение функции в степенной ряд и ряд Тейлора

  • Разложение функции f(x) в степенной ряд в окрестности точки а

  • >series(f(x), x=a, n), где а – точка, в окрестности которой производится разложение, n – число членов ряда.

  • >taylor(f(x), x=a, n) раскладывает функции f(x) в окрестности точки x=a до порядка n-1 по формуле Тейлора.

  • f(x1,…,xn)

  • >readlib(mtaylor):>mtaylor(f(x), [x1,…,xn], n)



Пример

  • Разложить в степенной ряд

  • в окрестности х0=0, порядок O(x^5)

  • f(x)=series(exp(-x)*sqrt(x+1), x=0, 5);

  • >convert(%,polynom)



Пример

  • Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки (0, 0) до 6-го порядка

  • >readlib(mtaylor):

  • > f=mtaylor(sin(x^2+y^2), [x=0,y=0], 7);



Пример

  • >taylor(cos(x),x,8): p:=convert(%,polynom);

  • > plot([cos(x),p],x=-2*Pi..2*Pi,color=[blue,green],thickness=[3,3],linestyle=[1,3]);





Похожие:

Дифференциальное исчисление функций многих переменных Частные производные iconЛекция 4 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Общая схема исследования функции и построение графика Производная. Задача о касательной
Дифференциальное исчисление функций многих переменных Частные производные iconЛекция 4 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Общая схема исследования функции и построение графика Производная. Задача о касательной
Дифференциальное исчисление функций многих переменных Частные производные iconЛекция 2 Полное приращение функции 2-х переменных
Если функция дифференцируема в точке М(х,у),то она имеет в этой точке частные производные и, причем =
Дифференциальное исчисление функций многих переменных Частные производные iconЭлементы дифференциального исчисления Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Изобразим график функции, непрерывной в интервале. Найдем, изобразим соответствующую точку на графике. Дадим приращение, найдем,...
Дифференциальное исчисление функций многих переменных Частные производные iconДифференциальное исчисление в экономике Эластичность функции
Ценовая эластичность спроса ed -это величина, характеризующая то, как спрос реагирует на изменение цены
Дифференциальное исчисление функций многих переменных Частные производные iconПроизводная
Математики, в котором изучаются производные и их применения к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением
Дифференциальное исчисление функций многих переменных Частные производные iconЗако́ны Ньюто́на
«Математические начала натуральной философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой...
Дифференциальное исчисление функций многих переменных Частные производные iconIsbl (Information System Base Language)
Язык, в котором можно (по крайней мере) моделировать исчисление с переменными-кортежами, либо, что равносильно, реляционную алгебру...
Дифференциальное исчисление функций многих переменных Частные производные iconЧастные лица и семьи: Частные лица и семьи
Поскольку мигранты, как правило, приходят обычно из небедных семей, непосредственными бенефициарами являются семьи со средне-низким...
Дифференциальное исчисление функций многих переменных Частные производные iconКакие типы переменных вы знаете? Какие типы переменных вы знаете?
Какая функция используется для выделения из слова его части (слева, справа, середины)?
Разместите кнопку на своём сайте:
hnu.docdat.com


База данных защищена авторским правом ©hnu.docdat.com 2012
обратиться к администрации
hnu.docdat.com
Главная страница