Задача алгебры решение уравнений и систем уравнений




НазваниеЗадача алгебры решение уравнений и систем уравнений
Дата конвертации12.03.2013
Размер445 b.
ТипЗадача


числа

  • Комплексные

  • числа




  • Основная задача алгебры – решение уравнений и систем уравнений.

  • Их умели решать уже в 3 веке (греческий математик Диофант - «Арифметика» )

  • В 5 веке в трудах индийских математиков появились задачи, для решения которых требовались квадратные уравнения, но рассматривались только положительные корни.

  • 13 – 16 века – немецкий математик Штифель рассмотрел уже и отрицательные корни и свёл все способы решения уравнений в одно правило.

  • 16 век – французский математик Франсуа Виет, служивший шифровальщиком при королевском дворе, впервые ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов



16 век – Италия. Математические диспуты – поединки.

  • . Побеждал тот, кто решал больше задач. Победитель не только награждался славой и назначенным денежным призом, но и мог занять университетскую кафедру, а потерпевший поражение часто терял занимаемое место. 20 февраля 1535 года состоялся один из таких диспутов, где один из виднейших математиков того времени Николо Тарталья в течение двух часов решил 30 задач, предложенных ему противником, который не решил ни одной из 30 предъявленных ему задач.



  • Тарталья открыл формулу для нахождения корней кубических уравнений и, как полагалось по обычаям того времени, держал её в секрете. Позднее он частично раскрыл свою тайну итальянскому математику Джероламо Кардано, который опубликовал эту формулу и был обвинён Тартальей в нарушении клятвы. Но формула и по сей день называется формулой Кардано.



  • Кардано – привёл решение уравнения четвёртой степени. Начались поиски формул, которые сводили бы решение уравнений высших степеней к извлечению корней («решение в радикалах»), которые продолжались около трёх столетий. Лишь в начале 19 века Нильс Абель и Эварист Галуа доказали, что уравнения степеней выше четвёртой в общем случае в радикалах не решаются.



  • Теорему о числе корней уравнения n– ой степени сформулировал Рене Декарт, при этом допуская существование не только истинных (положительных) и ложных (отрицательных) корней, но и воображаемых, которые получались при извлечении квадратного корня из отрицательного числа. Долгое время к множеству таких чисел, где существует величина, квадрат которой равен отрицательному числу, относились, как к чему – то сверхъестественному



  • Множество комплексных чисел – множество выражений вида

  • a + bi,

  • где а и b – действительные числа,

  • i - некоторый специальный знак.



  • Основные правила:

  • а + bi = с + di тогда и только тогда, когда а = с и b = d

  • сумма выражений: (а + bi) + (с + di) = ( а + с) + (b + d)i

  • произведение выражений: (а + bi)(с + di) = (ас – bd) + (аd + bс)i

  • а = а + 0i

  • 0 = 0 + 0i

  • bi = 0 +bi

  • i = 0 + 1i

  • i² = -1, где i– мнимая единица



  • z = a + bi

  • z – комплексное число

  • a + bi – алгебраическая форма комплексного числа

  • a – действительная часть числа z

  • b – мнимая часть числа z

  • i² = 1, где i – мнимая единица



  • Примеры

  • 1. (3 + 2i) + (-1 + 3i) = (3-1) + (2 +3)i = 2 + 5i

  • 2. (-1 + 5i) + (-1 + (-5)i) = (-1-1) + (5 - 5)i = -2 + 0i = -2

  • 3. (7 + 2i) + (-7 + 1i) = (7 – 7) + (2 + 1)i = 0 + 3i = 3i

  • 4. (4 + (-3)i) + (-4 + 3 i) = (4 – 4) + (-3 + 3)i= 0 + 0i = 0

  • 5. (3 + 2i)(-1 +3i) = (-3 – 6) + (9 – 2)i = -9 + 7i

  • 6. (-1 + 5i)(-1 + (-5)i) = (1 + 25) + (5 – 5)i = 26 + 0i = 26



  • Для комплексных чисел справедливы

  • основные законы арифметических действий

  • 1 Переместительный закон: а + в = в + а

  • 2 Сочетательный закон: (а + в) + с = а + +(в + с)

  • 3 Распределительный закон: а(в + с) = =ав + ас



  • Арифметические действия с комплексными числами ---

  • такие же, как и с алгебраическими выражениями;

  • NB!

  • i² = -1



  • Тренировочные упражнения

  • 1. (3 + 2i) + (-1 + 3i)

  • 2. (-1 + 5i) + (-1 + (-5)i)

  • 3. (7 + 2i) + (-7 + 1i)

  • 4. (4 + (-3)i) + (-4 + 3 i)

  • 5. (3 + 2i)(-1 +3i)

  • 6. (-1 + 5i)(-1 + (-5)i)

  • 7. 2 +3i) ²

  • 8. (5 + 3i)(5 – 3i)

  • № 1 –№6: сравни ответы с уже решёнными по основным правилам примерами



Примеры для самостоятельного решения

  • Примеры для самостоятельного решения

  • 1. (3 + 2i) + (1 + 5i)

  • 2. (-5 + i) + (1 – 4i)

  • 3. (-5 + 7i) + (5 – i)

  • 4. (3 + 2i) (1 + 5i)

  • 5. (-5 + i) (1 – 4i)

  • 6. (5 – 2i) (5 – i)

  • 7. (5 + 2i)²

  • 8. (3 – 2i)²

  • 9. (4 + i)²



  • Проверь себя:

  • 1) 4 + 7i 4)-7 + 17i 7)21 – 10i

  • 2) -4 – 3i 5)-1 + 21 i 8) 5 – 12i

  • 3) 6i 6) 23 – 15i 9)15 + 8i



1) (3 – 11i) + (4 + 15i)

  • 1) (3 – 11i) + (4 + 15i)

  • 2) (8- i) + (-8 + i)

  • 3) (7 – 5i) + (8i – 7) Домашнее задание:

  • 4) (7 – i) (5i + 1) выполнить действия (1 – 12)

  • 5) (3i + 4) (4 – 7i)

  • 6) -5i -7) (4 + 3i)

  • 7) 2 + i)²

  • 8) (2 – 3i)²

  • 9) (7 + 2i)²

  • 10) (6 – 5i) (6 + 5i)

  • 11) (2 + i)³

  • 12) (1 – i)³



Похожие:

Задача алгебры решение уравнений и систем уравнений iconРешение уравнений геометрическим методом. Геометрические методы решения уравнений в свою очередь можно разделить на: а векторный метод решения уравнений

Задача алгебры решение уравнений и систем уравнений iconЗадача Гильберта для уравнений Коши-Римана в круге
...
Задача алгебры решение уравнений и систем уравнений iconУрока: Цель урока: Сформировать представление о математической модели система уравнений Изучить графический метод решения систем уравнений
Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными, сколько решений может иметь уравнение
Задача алгебры решение уравнений и систем уравнений iconГрафический метод решения системы уравнений
Графический метод решения систем, как и графический метод решения уравнений, красив, но ненадежен
Задача алгебры решение уравнений и систем уравнений iconЛекция 4 «Особенности численного решения ду 2-го порядка, уравнений эллиптического типа»
Знакомство с методами решения основных видов дифференциальных уравнений 2-го порядка
Задача алгебры решение уравнений и систем уравнений iconНестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств
Цель обучение учащихся решению нестандартных уравнений и неравенств за счет глубокого понимания теоретических основ, применяемых...
Задача алгебры решение уравнений и систем уравнений iconРешение квадратных уравнений алгебра 8 класс Автор: Еремеева Ольга Михайловна, учитель математики высшей категории
Команда, справившаяся с заданием первой, обосновывает свое решение и выбирает следующую задачу
Задача алгебры решение уравнений и систем уравнений iconРешение системы линейных уравнений
Описания типов, констант, переменных, формул, утверждений, рекурсивные определения
Задача алгебры решение уравнений и систем уравнений iconУрок Цели урока
Подготовка учащихся к решению систем уравнений графическим способом и определению количества решений в системах
Задача алгебры решение уравнений и систем уравнений iconРешение задач с помощью дробных рациональных уравнений
Если x1 и x2 корни приведённого квадратного уравнения, то справедливы равенства …
Разместите кнопку на своём сайте:
hnu.docdat.com


База данных защищена авторским правом ©hnu.docdat.com 2012
обратиться к администрации
hnu.docdat.com
Главная страница