Нестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств




НазваниеНестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств
Дата конвертации01.03.2013
Размер445 b.
ТипПрезентации


Нестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств


Цель – обучение учащихся решению нестандартных уравнений и неравенств за счет глубокого понимания теоретических основ, применяемых в математике.

  • Задачи, решаемые в процессе обучения:

  • развить нестандартное мышление учащихся;

  • сформировать умение строить математические модели;

  • отработать навыки прохождения тестирования при подготовке к ЕГЭ (решение задач повышенной сложности);

  • повысить интерес к математике;

  • привить уверенность учащимся при решении задач



Метод мажорант (метод оценки ограниченности функций).

  • Методом мажорант решаются уравнения вида

  • f(x)=g(x), где f(x) и g(x) функции совершенно

  • разного вида. Итак, если на некотором промежутке

  • Р наибольшее значение функции y=f(x) равно M, а

  • наименьшее значение функции y=g(x) равно M, то

  • уравнение

  • f(x)=g(x)



Решите уравнение:

  • Решение.

  • ОДЗ:

  • Оценим левую часть уравнения:

  • Оценим правую часть уравнения:

  • Следовательно, левая часть исходного уравнения может быть равна правой части, только если обе части одновременно равняются 3.

  • Решая второе уравнение, получаем х=0.

  • Ответ: х=0



Задания для самостоятельной работы



Решить неравенство



Использование монотонности функций

  • Теоремы о монотонности функций, их связь с решением уравнения. Алгоритм решения с помощью метода монотонности.

  • Если y=f(x) - монотонная функция, то уравнение f(x) = c имеет не более одного корня

  • Пусть функция y=f(x) возрастает на промежутке М, а функция y=g(x) убывает на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=g(x) имеет на промежутке М не более одного корня.

  • Пусть область определения функции f(t) есть промежуток М, и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна (т.е. возрастает или убывает) на этом промежутке. Тогда уравнение

  • равносильно системе:



Решите уравнение:

  • Функция возрастающая (как сумма двух возрастающих функций). В правой части –постоянная, то по теореме о корне данное уравнение имеет не более одного корня.

  • Методом подбора найдем корень уравнения, он равен 2

  • Ответ. Х=2

  • Решите неравенство: <7

  • Функция возрастает при любых, как сумма двух возрастающих функций. Легко видеть, что х=0-единственный корень уравнения f(x)=7. Следовательно, неравенство f(x)<7 выполняется при х<0.

  • Ответ х<0



Задания для самостоятельной работы



Использование области определения функций

  • Рассматривается метод, когда при решении уравнения или неравенства выясняется, что обе его части определены на некотором множестве, состоящем из одного или нескольких чисел.

  • Этот метод наиболее результативен при решении уравнений и неравенств, в состав которых входят обратно тригонометрические, логарифмические и иррациональные функции.



Правила решения уравнений и неравенств

  • При решении уравнения или неравенства перенести все члены в левую часть и рассмотреть функцию f (x). Найти её область определения Д (f). При этом:

  • 1). Если Д (f) – пустое множество , то уравнение или неравенство решений не имеют.

  • 2). Если Д (f) = {а1; а2; а3…..аn}, то действительные решения данного уравнения и неравенства находятся среди чисел а1; а2; а3…..аn. Теперь необходимо проверить, какие из данных чисел являются решениями уравнения или неравенства.

  • 3). Если Д (f) = [а; в], то нужно проверить верно ли уравнение или неравенство на концах промежутка и в каждом промежутке, причём, если a < 0, а в > 0, то необходима проверка на промежутках (а; 0) и [0; в).



Решите уравнение:

  • Выпишем условия, при которых выражения, входящие в левую часть данного уравнения, имеют смысл:

  • Система решений не имеет. Поэтому и исходное уравнение не имеет решений.

  • Ответ: решений нет.



Задания для самостоятельной работы

  • 1. Решите систему неравенств

  • 2.При каких значениях параметра уравнение

  • имеет ровно 3 корня.

  • 3.Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства является отрезком длины меньше 1.

  • 4. Найдите все значения параметра , при каждом из которых график функции пересекает ось абсцисс более чем в двух различных точках.

  • 5. Найдите все значения переменной , при каждом из которых неравенство

  • верно хотя бы при одном значении параметра а из промежутка

  • [3; 6].



Применение производной при решении уравнений и неравенств

  • При решении уравнений или неравенств часто бывает необходимо доказать монотонность (возрастание или убывание) функций, входящих в уравнение или неравенство. Возрастание и убывание функций удобно доказывать с помощью производной.

  • Решите неравенство:

  • Рассмотрим функцию

  • Она определена на всей числовой прямой имеет производную:

  • причем >0 , следовательно, возрастает на всей области определения

  • Тогда уравнение имеет не более одного корня. Легко заметить, что

  • таким корнем является число х=0. Т.к. функция непрерывна и возрастающая, то решением исходного неравенства является

  • х .



Задания для самостоятельной работы

  • 1.Найдите все значения , при которых уравнение не имеет корней.

  • 2.Решите уравнение

  • 3. Решите уравнение

  • 4. Решить систему уравнений

  • 5. Доказать, что уравнение имеет

  • единственный корень, лежащий в интервале

  • 6. Доказать, что уравнение

  • имеет единственное решение

  • 7. Решить уравнение .



Тригонометрическая подстановка

  • Тригонометрическая подстановка является одним из способов реализации метода замены переменной и используется в тех случаях, когда область определения исходного уравнения совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область. Выбор той или иной функции при этом зависит от вида уравнения, неравенства, их систем или алгебраического выражения, которое требуется упростить.

  • Если из условия задачи следует, что допустимые значения переменной х определяются неравенством , то удобны замены или .



Задания для самостоятельной работы

  • 1.Решить уравнение .

  • 2.Выяснить, сколько корней имеет уравнение .

  • 3. Решите уравнение .

  • 4. Решите уравнение .

  • 5. Решите уравнение .

  • 6. Решите уравнение



Похожие:

Нестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств iconПриёмы устного решения квадратного уравнения
Квадратные уравнения это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение...
Нестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств iconСуществует большое количество способов решения уравнений и неравенств, многие из которых не изучаются согласно школьной программе

Нестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств iconРешение уравнений геометрическим методом. Геометрические методы решения уравнений в свою очередь можно разделить на: а векторный метод решения уравнений

Нестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств iconЛекция 4 «Особенности численного решения ду 2-го порядка, уравнений эллиптического типа»
Знакомство с методами решения основных видов дифференциальных уравнений 2-го порядка
Нестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств iconГрафический метод решения системы уравнений
Графический метод решения систем, как и графический метод решения уравнений, красив, но ненадежен
Нестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств iconЗадача алгебры решение уравнений и систем уравнений
В 5 веке в трудах индийских математиков появились задачи, для решения которых требовались квадратные уравнения, но рассматривались...
Нестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств iconУрока: Цель урока: Сформировать представление о математической модели система уравнений Изучить графический метод решения систем уравнений
Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными, сколько решений может иметь уравнение
Нестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств iconМетоды решения уравнений третьей степени. Простейший

Нестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств iconРешение показательных уравнений и неравенств структурные элементы урока постановка цели урока и мотивация учебной деятельности учащихся Повторение и анализ основных фактов
Обобщение и систематизация понятий, усвоение системы знаний и их применение для объяснения новых фактов и выполнения практических...
Нестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств iconРешение неравенств второй степени
Закрепить знания, умения и навыки при решении неравенств второй степени, используя свойства графика квадратичной функции, и метод...
Разместите кнопку на своём сайте:
hnu.docdat.com


База данных защищена авторским правом ©hnu.docdat.com 2012
обратиться к администрации
hnu.docdat.com
Главная страница