Вневписанная окружность Геометрия является самым могущественным




НазваниеВневписанная окружность Геометрия является самым могущественным
Дата конвертации27.02.2013
Размер445 b.
ТипПрезентации


Вневписанная окружность

  • Геометрия является самым могущественным

  • средством для изощрения наших умственных

  • способностей и дает нам возможность правильно

  • мыслить и рассуждать.

  • Г. Галилей


Простейший из многоугольников — треугольник — играет в геометрии особую роль. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как о самостоятельном разделе элементарной геометрии.

  • Простейший из многоугольников — треугольник — играет в геометрии особую роль. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как о самостоятельном разделе элементарной геометрии.

  • Первые упоминания о треугольнике и его свойствах можно найти в египетских папирусах, которым более 4000 лет. Через 2000 лет в Древней Греции изучение свойств треугольника достигает высокого уровня — достаточно вспомнить теорему Пифагора и формулу Герона.

  • Центральное место в геометрии треугольника занимают свойства так называемых замечательных точек и линий.



Основные определения

  • Если все вершины многоугольника лежат на окружности,

  • то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность.



Вневписанная окружность

  • Если рассмотреть дополнительно биссектрисы трех пар внешних углов треугольника, то получаются еще три замечательных точки — центры вневписанных окружностей

  • Биссектрисы внешних или внутренних углов треугольника образуют центры окружностей касающихся прямых АВ, ВС, СА.



Вневписанная окружность

  • В итоге получаем четыре окружности с центрами

  • О, Оа, Ob, Oc, касающиеся трех данных несовпадающих прямых.

  • При этом одна из них будет вписанной в треугольник окружностью, а три других — вневписанными окружностями.



Вневписанная окружность

  • Определение.

  • Вневписанной окружностью треугольника

  • называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других.

  • Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, почему они и получили название вневписанных.



Вневписанная окружность

  • Центрами вневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника.

  • Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах. Шесть биссектрис треугольника — три внутренние и три внешние — пересекаются по три в четырех точках — центрах вписанной и трех вневписанных окружностей.





Свойства вневписанной окружности и ее связь с основными элементами треугольника



Свойства вневписанной окружности и ее связь с основными элементами треугольника



Соотношения между радиусами вписанной, описанной и вневписанной окружностей



Применение вневписанной окружности и ее свойств к решению задач

  • Задача 2.

  • Дан треугольник АВС со сторонами а, в, с. Найти длину отрезков, на которые делятся стороны треугольника точками касания вневписанных окружностей.

  • Решение.

  • Пусть AQ=y. Тогда AS=y,QC=CT=b-y,BS=BT, а поэтому c+y=a+(b-y),

  • Аналогично можно вычислить и длины других отрезков.



Решение задач на доказательство

  • Задача3.

  • Прямые PA и PB касаются окружности с центром О (А и В –точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая отрезки РА и РВ в точках X и Y.

  • Докажите, что величина угла XOY не зависит от выбора третьей касательной.

  • Решение:

  • <АРВ = φ.

  • < XOY=180°-(α+β).

  • ∆PXY : <1=180° -2α, <2=180° -2β.

  • 2β + 2β - 180° = φ,

  • α+β-90° = φ/2, α+β =90° + φ/2,



Задача 4.

  • Задача 4.

  • Четырёхугольник ABCD описан около окружности . Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке O. Окружность ώ1 касается стороны BC в точке K и продолжений сторон AB и CD ; окружность ώ 2 касается стороны AD в точке L и продолжений сторон AB и CD . Известно, что точки O , K и L лежат на одной прямой.

  • Докажите, что середины сторон BC , AD и центр окружности ώ лежат на одной прямой



Пусть для определённости точка O лежит на продолжении отрезка AB за точку B. Обозначим через P и Q точки пересечения KL с окружностью ώ, через M и N – точки касания сторон BC и AD с ώ.

  • Пусть для определённости точка O лежит на продолжении отрезка AB за точку B. Обозначим через P и Q точки пересечения KL с окружностью ώ, через M и N – точки касания сторон BC и AD с ώ.

  • Проведём касательные l 1 и l 2 к в точках P и Q . Обозначим через угол между касательной l 1 (или l 2 ) и хордой PQ . При гомотетии с центром O , переводящей окружность ώ 1 в окружность ώ, касательная BC в точке K перейдёт в l 2 ; при гомотетии с центром O , переводящей окружность ώ 2 в ώ, прямая AD перейдёт в l 1 . Поэтому BC || l 2 и AD || l 1 и, следовательно, LKC= KLD = .

  • Кроме того, BMN = ANM как углы между касательной и хордой.

  • Четырёхугольник KLNM – равнобедренная трапеция и NMC = MND = .

  • Таким образом, хорды PQ и MN параллельны и стягивают равные дуги величиной 2

  • Следовательно, средняя линия этой трапеции проходит через центр окружности ώ. Но середина KM совпадает с серединой BC (известно, что точки касания стороны треугольника со вписанной и вневписанной окружностью симметричны относительно середины стороны), и середина LN совпадает с серединой AD .



Список используемых источников информации

  • http://rgp.nm.ru/knigi/kulanin5.html

  • http://www.geometr.info/geometriia/treug/radiusy.html

  • http://schools.techno.ru/sch758/aishat/bis.htm

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы, 9 издание.- М.: Просвещение, 2000.

  • Биссектрисы вписанной и вневписанной окружности треугольника // Квант №7, 1987.

  • Гнеденко Б.В. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: «Педагогика», 1989.

  • Гохидзе М. Г. Вневписанная окружность // Математика в школе №3, 1989.

  • Гохидзе М. Г. О вневписанной окружности и задачах по стереометрии.// Математика в школе №5, 1987.

  • О свойствах центра вневписанной окружности // Квант №2, 2001.

  • Шарыгин Н. Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач. Учеб. пособие для 11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение,1991.-С.138-140.



Спасибо за внимание

  • Спасибо за внимание



Похожие:

Вневписанная окружность Геометрия является самым могущественным iconВневписанная окружность вневписанная окружность
Вот одна из замечательных теорем того времени: «Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков высот от вершины...
Вневписанная окружность Геометрия является самым могущественным iconВеликий итальянский ученый Галилео Галилей сказал: Великий итальянский ученый Галилео Галилей сказал
«Геометрия является могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить...
Вневписанная окружность Геометрия является самым могущественным iconРостовая мебель – 1314 комплектов
«Самым важным явлением в школе, самым поучительным предметом, самым живым примером для ученика является сам учитель. Он олицетворенный...
Вневписанная окружность Геометрия является самым могущественным iconГеометрия – одна из самых древних наук.«Геометрия»
«Геометрия» по-гречески означает «землемерие». Геометрия возникла на основе практической деятельности людей. В дальнейшем геометрия...
Вневписанная окружность Геометрия является самым могущественным iconСамым ярким представителем этого типа является еженедельная газета "Молоток". Самым ярким представителем этого типа является еженедельная газета "Молоток"
В этих изданиях процент сленгизмов в текстах довольно высок. В некоторых материалах (например, в гороскопах "Молотка" от Да С) он...
Вневписанная окружность Геометрия является самым могущественным iconГеометрия чисел. Геометрия чисел
Эта видеоконференция посвящается 100-летию выхода в свет книги под названием «Геометрия чисел», написанной известным математиком...
Вневписанная окружность Геометрия является самым могущественным iconСреди пытавшихся доказать были следующие учёные
Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных...
Вневписанная окружность Геометрия является самым могущественным iconЗачем нужна геометрия? Кобыльская Олеся
Геометрия часть математики, отвечающая на вопросы, связанные с размером, формой и относительным положением фигур, а также описывающая...
Вневписанная окружность Геометрия является самым могущественным iconПростейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм
Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии
Вневписанная окружность Геометрия является самым могущественным iconВведение Линия Квадрат
Почти все названия геометрических фигур греческого происхождения, как и само слово геометрия, происходящего от греческого слова геометрия...
Разместите кнопку на своём сайте:
hnu.docdat.com


База данных защищена авторским правом ©hnu.docdat.com 2012
обратиться к администрации
hnu.docdat.com
Главная страница