Вневписанная окружность вневписанная окружность




НазваниеВневписанная окружность вневписанная окружность
Дата конвертации27.02.2013
Размер445 b.
ТипПрезентации


ВНЕВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

  • ВНЕВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ


1. Цель проекта

  • 1. Цель проекта

  • 2. Историческая справка

  • 3. Виды окружностей

  • 4. Понятие вневписанной окружности

  • 5. Свойства вневписанной окружности

  • 6. Применение свойств вневписанной окружности к решению задач

  • 7. Литература



Рассмотреть виды окружностей

  • Рассмотреть виды окружностей

  • Вывести понятие вневписанной окружности

  • Выяснить применение вневписанной окружности к решению задач

  • На главную…



Исследования 15-16 веков составили большой раздел планиметрии . Вот одна из замечательных теорем того времени: «Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков высот от вершины до точки их пересечения лежат на одной окружности» . Она обычно называется окружностью девяти точек( по количеству замечательных точек, через которые она проходит)

  • Исследования 15-16 веков составили большой раздел планиметрии . Вот одна из замечательных теорем того времени: «Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков высот от вершины до точки их пересечения лежат на одной окружности» . Она обычно называется окружностью девяти точек( по количеству замечательных точек, через которые она проходит)

  • Эта окружность найдена

  • Л. Эйлером в 18 веке

  • (поэтому она часто называется

  • окружностью Эйлера).





Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.

  • Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.



Если все вершины многоугольника лежат на окружности,

  • Если все вершины многоугольника лежат на окружности,

  • то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность.



Вневписанная окружность треугольника- это окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон.

  • Вневписанная окружность треугольника- это окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон.

  • Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, почему они и получили название вневписанных.



  • 1. Определение вневписанной окружности, её центр и радиус

  • Теорема 1: Биссектриса внутреннего угла ВАС треугольника АВС и биссектрисы двух внешних углов при вершинах В и С пересекаются в одной точке

  • Доказательство: проведём внешние биссектрисы из вершин В и С. Пусть они пересекутся в точке О. Докажем, что биссектриса угла ВАС проходит через точку О.Все точки биссектрисы СО равноудалены от сторон угла ,значит , расстояние от точки О до прямых ВС и Ас равны, так как О лежит на биссектрисе угла ВСК, то есть ОК=ОН

  • Аналогично ВС=АВ и ОР=ОН. Тогда очевидно, что точка О равноудалена от прямых АС и АВ, то есть лежит на биссектрисе угла ВАС.



Центрами вневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника.

  • Центрами вневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника.

  • Радиусом вневписанных окружностей является отрезок перпендикуляра, проведённого из центра окружности к какой-либо стороне треугольника или её продолжению.



  • 2. Свойства вневписанной окружности и её связь с основными элементами треугольника

  • Теорема 2: Пусть K - точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны АС треугольника АВС. Тогда длина отрезка равна полупериметру треугольника АВС.

  • Доказательство: 1). Пусть точки К2 и К3 — точки касания вневписанной окружности с прямыми АВ и ВС соответственно.

  • 2). СК1 = СК3, ВК2 = ВК3,

  • АК1 = АК2 ( по свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки).

  • 3) Р = АС + СВ + АВ =

  • = АС + СК3 + ВК3 + АВ =

  • = АС + СК1 + ВК2 + АВ =

  • = АК1 + АК2 = 2АК1

  • Значит, АК1 = Р : 2



Теорема 3: площадь S треугольника АВС равна S=r(p-a)

  • Теорема 3: площадь S треугольника АВС равна S=r(p-a)

  • Доказательство: самостоятельно

  • Утверждения:

  • Пусть S, p, a соответственно- площадь, полупериметр и сторона некоторого треугольника, а r- радиус вневписанной окружности, то

  • Некоторые равенства:



Теорема 4 Радиус вневписанной окружности треугольника равен 1/3 среднего гармонического радиусов вневписанных окружностей этого треугольника, т.е.

  • Теорема 4 Радиус вневписанной окружности треугольника равен 1/3 среднего гармонического радиусов вневписанных окружностей этого треугольника, т.е.

  • Доказательство данной теоремы вытекает из формулы среднего гармонического из неотрицательных:



Задача 1:

  • Задача 1:

  • Дан треугольник АВС со сторонами а, в, с. Найти длину отрезков, на которые делятся стороны треугольника точками касания вневписанных окружностей.

  • Решение.

  • Пусть AQ=y. Тогда AS=y,QC=CT=b-y,BS=BT, а поэтому c+y=a+(b-y),

  • Аналогично можно вычислить и длины других отрезков.



Задача 2

  • Задача 2

  • Прямые PA и PB касаются окружности с центром О (А и В –точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая отрезки РА и РВ в точках X и Y.

  • Докажите, что величина угла XOY не зависит от выбора третьей касательной.

  • Решение:

  • <АРВ = φ.

  • < XOY=180°-(α+β).

  • ∆PXY : <1=180° -2α, <2=180° -2β.

  • 2β + 2β - 180° = φ,

  • α+β-90° = φ/2, α+β =90° + φ/2,





3. Решение стереометрических задач

  • 3. Решение стереометрических задач

  • Утверждение 1.

  • а) ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания является центром вписанной окружности в многоугольник, лежащий в основании;

  • б) высоты боковых граней-треугольников, проведённые из вершины пирамиды, равны и лежат на соответствующих боковых гранях;

  • в)двугранные углы при основании пирамиды равны.

  • Утверждение 2

  • а)ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания равноудалена от прямых, содержащих стороны основания пирамиды;

  • б)высоты боковых граней- треугольников, проведённые из вершины пирамиды, равны;

  • в)плоскости боковых граней образуют равные углы с плоскостью основания



Задача 1: следует отметить, что если решать задачу в привычной формулировке, используемой в школьном учебнике: «Длины сторон основания треугольной пирамиды равны a, b и c. Боковые грани с основанием пирамиды составляют угол. Вычислить объём пирамиды.», то задача будет иметь только одно решение: на основании утверждения 1, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

  • Задача 1: следует отметить, что если решать задачу в привычной формулировке, используемой в школьном учебнике: «Длины сторон основания треугольной пирамиды равны a, b и c. Боковые грани с основанием пирамиды составляют угол. Вычислить объём пирамиды.», то задача будет иметь только одно решение: на основании утверждения 1, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

  • Переформулируем задачу.

  • «Длины сторон основания треугольной пирамиды равны a, b и c. Плоскости боковых граней с плоскостью основания пирамиды составляют угол К. вычислить объём пирамиды.»

  • В этой формулировке условию задачи соответствует 4 пирамиды, имеющие общее основания и отличающиеся только высотами:

  • После преобразования получим:

  • Очевидно, что треугольник, лежащий в основании пирамиды, разносторонний, имеем 4 различных значения искомого объёма пирамиды, если треугольник равнобедренный- три, правильный- два.



Задача 1: В треугольнике ABC проведены высоты ВМ и CN, О - центр окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Известно, что ВС = 12, MN = 6. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВОС.

  • Задача 1: В треугольнике ABC проведены высоты ВМ и CN, О - центр окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Известно, что ВС = 12, MN = 6. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВОС.

  • Задача 2: Вписанная окружность треугольника АВС касается стороны АС в точке D; DM- её диаметр. Прямая ВМ пересекает сторону АС в точке К. Докажите, что АК=DC.

  • Задача 3: Найдите радиусы вписанной и вневписанной окружности треугольника со сторонами 5, 12, 13.



Задача 4: В треугольнике АВС с периметром 2p величина острого угла ВАС равна x. Окружность с центром в точке О касается стороны ВС и продолжения сторон АВ и АС в точках K? L и M соответственно. Точка D лежит внутри отрезка АК, AD=a. Найдите площадь треугольника DOC.

  • Задача 4: В треугольнике АВС с периметром 2p величина острого угла ВАС равна x. Окружность с центром в точке О касается стороны ВС и продолжения сторон АВ и АС в точках K? L и M соответственно. Точка D лежит внутри отрезка АК, AD=a. Найдите площадь треугольника DOC.

  • Задача 5: Отрезок, соединяющий вершину А треугольника АВС с центром Q вневписанной окружности, касающийся стороны ВС, пересекает вписанную окружность этого треугольника в точке D. Докажите, что треугольник BDQ- равнобедренный.

  • Задача 6: В треугольнике PQR величина угла QRP равна 60. Найдите расстояние между точками касания со стороной QR окружности радиуса 2,вписанной в треугольник, и окружности радиуса 3, касающейся продолжений сторон PQ и PR.



http://schools.techno.ru/sch758/aishat/bis.htm

  • http://schools.techno.ru/sch758/aishat/bis.htm

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы, 9 издание.- М.: Просвещение, 2000.

  • Биссектрисы вписанной и вневписанной окружности треугольника // Квант №7, 1987.

  • Гнеденко Б.В. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: «Педагогика», 1989.

  • Гохидзе М. Г. Вневписанная окружность // Математика в школе №3, 1989.

  • Гохидзе М. Г. О вневписанной окружности и задачах по стереометрии.// Математика в школе №5, 1987.

  • О свойствах центра вневписанной окружности // Квант №2, 2001.

  • Шарыгин Н. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. Учеб. пособие для 11 Кл. сред. шк. - М.: Просвещение,1991.-С.138-140.



Похожие:

Вневписанная окружность вневписанная окружность iconВневписанная окружность Геометрия является самым могущественным
Г. Галилей Простейший из многоугольников треугольник играет в геометрии особую роль. За несколько тысячелетий геометры столь подробно...
Вневписанная окружность вневписанная окружность iconГеометрические фигуры Круг и окружность
Затем этот результат был уточнен и математики обозначили греческой буквой пи=3,14
Вневписанная окружность вневписанная окружность iconЗнакомство -привет! Я – Смайлик! Мои любимые геометрические фигуры – окружность и круг
Длина окружности равна 8П. Вычислите площадь круга, ограниченного данной окружностью
Вневписанная окружность вневписанная окружность iconЛиния Прямоугольник Окружность
Для вывода графических изображений на экран монитора в языке Pascal существует стандартная библиотека Graph, подключение которой...
Вневписанная окружность вневписанная окружность iconПростейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм
Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии
Вневписанная окружность вневписанная окружность iconПроект. «Окружность в декартовой системе координат» Над проектом работала Воробьёва Алеся Александровна Ученица 9класса сош №11
Живу в Искитиме. Люблю делать проекты по математике и другим предметам. Люблю слушать музыку
Вневписанная окружность вневписанная окружность iconЭлементы геометрии на начальном этапе обучения (методические рекомендации)
Математика: авторы М. И. Моро, Ю. М. Колягин и др Точка, линии (кривая, прямая, отрезок, ломаная), многоугольники различных видов...
Вневписанная окружность вневписанная окружность iconЗанимательные задачи по математике. Мычко-Мегрин Анастасия 11 «А» класс!
Четырёхугольник авсд вписан в окружность. Лучи ва и сд пересекаются в точке L, а лучи вс и ад в точке К. Найдите угол вад если угол...
Вневписанная окружность вневписанная окружность iconНет задач по темам «Площадь» и «Окружность»,над составлением упражнений по этим темам буду работать в следующем году
Эти упражнения способствуют активизации мыслительной деятельности учащихся, обучают их умению грамотно рассуждать, делать правильные...
Вневписанная окружность вневписанная окружность iconИзмеряем длину окружности Школа №254 Преподаватель
Получилась замкнутая ломаная, все узлы которой лежат на окружности. Такая ломаная называется вписанной в окружность Если построенная...
Разместите кнопку на своём сайте:
hnu.docdat.com


База данных защищена авторским правом ©hnu.docdat.com 2012
обратиться к администрации
hnu.docdat.com
Главная страница