Курс лекций по сетевому анализу Степанова Алена Андреевна профессор кафедры математики и моделирования оглавление Сетевой график




НазваниеКурс лекций по сетевому анализу Степанова Алена Андреевна профессор кафедры математики и моделирования оглавление Сетевой график
Дата конвертации23.02.2013
Размер446 b.
ТипКурс лекций


Курс лекций по сетевому анализу

  • Степанова Алена Андреевна

  • профессор кафедры математики и моделирования


оглавление

  • Сетевой график

  • Нумерация событий. Метод вычеркивания

  • Алгоритм Форда нумерации событий

  • Критическое время

  • Максимальные времена наступления событий

  • Резервы времени



оглавление

  • 7. Подкритические пути

  • 8. Линейная диаграмма проекта

  • 9. Оптимальное по времени распределение ресурсов при постоянных интенсивностях

  • 10. Уплотнение ресурса



Оглавление(продолжение)

  • 5.Прямые и плоскости

  • 6. Кривые второго порядка

  • 7.Поверхности второго порядка

  • 8.Замечательные кривые

  • 9.Комплексные числа



Лекция 1. Сетевой график



  • Ориентированный граф(орграф) – это пара (V;E), где V - непустое множество, E -множество упорядоченных пар элементов из V.

  • Элементы множества V называются вершинами, элементы множества Е называются дугами орграфа.



  • Сеть – это орграф, в котором существует единственная вершина, в которую не входит ни одна дуга и существует единственная вершина, из которой не выходит ни одна дуга, при этом каждой дуге сопоставлено некоторое число, которое называется длиной дуги.



  • Пусть (V;E) – орграф.

  • Последовательность

  • u1,(u1,u2),u2,…,un-1,(un-1,un),un,

  • где u1 ,…, un - вершины орграфа,

  • (u1,u2),…, ,(un-1,un) – дуги орграфа, называется путем в орграфе.

  • Число дуг пути называется длиной пути.



  • Сетевой график – это наглядное изображение проекта в виде орграфа, отображающее технологическую связь между работами.

  • Вершины сетевого графика называются событиями.

  • Дуги сетевого графика называются работами.

  • Замечание. В сетевом графике не существует циклов.



  • Правила составления сетевого графика

  • Если k>1 работ выходят из одного события Pi и входят в одно событие Pj, то вводим k-1 дополнительных событий Pi1,…, Pi(k-1), которые соединяем с Pj фиктивными работами нулевой продолжительности, изображаемых пунктиром.

  • Если событие Pi (I отлично от m и 0) не имеет выходящих (входящих) дуг, то Pi (P0) следует соединить фиктивной работой с Pm (Pi).



Ключевые понятия

  • Орграф, вершина, дуга, путь, длина пути, сеть, сетевой график



Вопросы для самопроверки по теме «Сетевой график»

  • Дать определение орграфа.

  • Как определяется понятие пути в орграфе?

  • Как посчитать длину пути в орграфе?

  • Что такое сеть?

  • Определить понятие сетевого графика.



Вопросы для самопроверки по теме «Сетевой график»(продолжение)

  • Является ли сетевой график сетью?

  • Какие существуют правила построения сетевого графика?



Лекция 2. Нумерация событий. Метод вычеркивания дуг



  • Сетевой график называется правильно занумерованным, если из того, что - работа следует, что

  • .



Метод вычеркивания дуг (алгоритм правильной нумерации сетевого графика)

  • Первый шаг:

  • просматриваем сеть с события , которое отнесем к событиям 0-го ранга, и вычеркиваем все дуги, выходящие из ; события без входящих дуг отнесем к событиям 1-го ранга.



Общий шаг:

  • вычеркиваем все дуги, выходящие из события k –го ранга; события без входящих дуг отнесем к событиям (k+1) –го ранга.



  • После разбиения событий по рангам нумеруем события:

  • событию присваиваем номер 0;

  • событиям 1-го ранга в произвольном порядке присваиваем номера 1, 2, … , k1;

  • событиям 2-го ранга в произвольном порядке присваиваем номера k1+1, … , k1+k2;

  • и т.д.



  • Утверждение 1. На каждом шаге алгоритма вычеркивания дуг найдется событие, в которое не входит ни одна дуга.

  • Утверждение 2. Ранг события – наибольшая из длин путей из P0 в данное событие, где под длиной пути мы понимаем число дуг, входящих в этот путь.



пример



Разбиение событий по рангам:



Пронумерованная сеть:



Ключевые понятия

  • Правильная нумерация событий в сетевом графике, ранг события, алгоритм правильной нумерации событий (метод вычеркивания дуг).



Вопросы для самопроверки по теме «Нумерация событий. Метод вычеркивания дуг»

  • Дать определение правильной нумерации событий.

  • Для чего применяется метод вычеркивания дуг?

  • Описать этот метод?

  • Что такое ранг события?



Лекция 3. Алгоритм Форда нумерации событий



Алгоритм Форда нумерации событий (алгоритм правильной нумерации сетевого графика)

  • Первый шаг:

  • каждой вершине ставят в соответствие число ;

  • каждой дуге ставят в соответствие число .



Общий шаг:

  • просматриваем все события сети в каком-нибудь порядке, например

  • ,

  • и полагаем

  • , ,

  • где равно или в зависимости от того, просматривалось ли на -м шаге событие или нет.



  • Обозначение:

  • для всех .

  • Утверждение 3. Число есть максимальная из длин цепей из события в событие , т.е. совпадает с рангом события .



  • После разбиения событий по рангам нумеруем события:

  • событию присваиваем номер 0;

  • событиям 1-го ранга в произвольном порядке присваиваем номера 1, 2, … , k1;

  • событиям 2-го ранга в произвольном порядке присваиваем номера k1+1, … , k1+k2;

  • и т.д.



пример



  • 1-й шаг: для всех

  • 2-й шаг:



  • 3-й шаг:



  • 4-й шаг:



Разбиение событий по рангам:



Пронумерованная сеть:



Ключевые понятия

  • Правильная нумерация событий, ранг события, алгоритм Форда правильной нумерации событий.



Вопросы для самопроверки по теме «Алгоритм Форда нумерации событий»

  • Дать определение правильной нумерации событий сетевого графика.

  • Что такое ранг события?

  • Описать алгоритм Форда нумерации событий сетевого графика.



Лекция 4. Критическое время



  • Длина работы - это продолжительность ее выполнения.

  • Длина пути – это продолжительность выполнения всей последовательности работ этого пути, т.е. сумма длин работ этого пути.

  • Считаем, что время наступления события равна нулю.



  • Минимальное (наиболее раннее) время возможного наступления события равно максимальной длине пути из в .

  • Критическое время проекта – это минимальное время наступления последнего события .

  • Критический путь – путь из в максимальной длины .

  • Критическая работа – это работа, принадлежащая критическому пути.



Алгоритм вычисления минимальных времен и критического времени

  • Первый шаг:

  • каждой вершине ставят в соответствие число ;

  • каждой дуге ставят в соответствие число .



Общий шаг:

  • просматриваем все события пронумерованной сети в порядке

  • ,

  • полагаем

  • , ,

  • и записываем около каждого вычисленного номера тех событий , на которых был достигнут максимум.



  • Утверждение 4. Для правильно занумерованной сети третий шаг не изменит ни одного из чисел , полученных после второго шага.



  • Утверждение 5. Каждое из чисел определяет максимальную длину пути из в , т.е. равно минимальному времени наступления события . Число дает критическое время .



  • Утверждение 6. Путь из в является критическим тогда и только тогда, когда

  • для всех дуг этого пути.



  • Следствие. Если по пометках, полученным в алгоритме вычисления минимальных времен, восстановить путь из в начиная с пометок события , то этот путь будет критическим.



пример



  • 1-й шаг: для всех

  • 2-й шаг:



  • Таким образом, критическое время

  • равно 16;

  • критические пути:



Ключевые понятия

  • Минимальное время наступления события, критическое время проекта, критический путь, критическая работа, алгоритм вычисления минимальных времен, критического времени и нахождения критического пути.



Вопросы для самопроверки по теме «Критическое время»

  • Дать определение минимального времени наступления события.

  • Что такое критическое время проекта?

  • Определить понятие критического пути.

  • Какая работа называется критической?



Вопросы для самопроверки по теме «Критическое время» (продолжение)

  • Описать алгоритм вычисления минимальных времен.

  • За сколько шагов данный алгоритм сходится при условии правильной нумерации сети?



Лекция 5. Максимальные времена наступления событий



  • Максимальным (наиболее поздним) временем наступления события называется наиболее позднее время окончания всех работ, входящих в , не увеличивающее критическое время проекта.

  • Замечание. Максимальное время наступления события равно разности между критическим временем проекта и максимальной длиной пути из в .



  • Утверждение 7. Для того, чтобы событие принадлежало критическому пути, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство



Алгоритм вычисления максимальных времен

  • Первый шаг:

  • каждой вершине ставят в соответствие число ;

  • каждой дуге ставят в соответствие число .



Общий шаг:

  • просматриваем все события пронумерованной сети в порядке от

  • до ; полагаем и

  • .

  • Максимальные времена получаем по формуле:



пример



  • 1-й шаг: для всех

  • 2-й шаг:



  • Максимальные времена получаем по формуле :



Ключевые понятия

  • Максимальное время наступления события, критическое время проекта, критический путь, алгоритм вычисления максимальных времен наступления события.



Вопросы для самопроверки по теме «Максимальные времена наступления событий»

  • Дать определение максимального времени наступления события.

  • Описать алгоритм вычисления минимальных времен.

  • За сколько шагов данный алгоритм сходится при условии правильной нумерации сети?

  • Сформулировать критерий принадлежности события критическому пути.



Лекция 6. Резервы времени



  • Величина называется полным резервом времени работы .

  • Свойства

  • полного резерва времени работы :

  • при увеличении продолжительности выполнения работы на полный резерв времени этой работы критическое время выполнения проекта не меняется;

  • при увеличении на полный резерв времени работы критическое время выполнения проекта не меняется;



  • полный резерв времени работы равен нулю тогда и только тогда, когда данная работа критическая;

  • увеличение продолжительности некритической работы на полный резерв времени влечет появление нового критического пути, содержащего эту работу;

  • полный резерв времени работы – это разность между критическим временем выполнения проекта и максимальной длиной пути, проходящего через эту работу.



  • Величина называется свободным резервом времени работы

  • Свойства

  • свободного резерва времени работы :

  • при увеличении продолжительности выполнения работы на полный резерв времени этой работы критическое время выполнения проекта не меняется;

  • при увеличении продолжительности выполнения работы на полный резерв времени не меняется;



  • увеличение продолжительности работы на часть ее свободного резерва может уменьшить полный резерв времени работ, входящих в событие и не влияет на полные резервы работ, выходящих из события ;

  • для работ, оканчивающихся в событиях, лежащих на критическом пути, полный резерв времени совпадает со свободным.



  • Величина называется независимым резервом времени работы .

  • Свойства

  • независимого резерва времени работы :

  • независимый резерв времени работы - это максимально допустимое время для увеличения продолжительности этой работы или запаздывания ее начала при условии, что все работы, входящие в событие , заканчиваются во время , а все работы, выходящие из события , начинаются во время ;



  • при увеличении продолжительности выполнения работы на независимый резерв времени этой работы критическое время выполнения проекта не меняется;

  • использование на работе ее независимого резерва времени не влияет на резервы других работ;

  • для работы, выходящей из события, лежащего на критическом пути, независимый резерв времени совпадает со свободным.



ПРИМЕР





Ключевые понятия

  • Полный резерв времени работы, свободный резерв времени работы, независимый резерв времени работы.



Вопросы для самопроверки по теме «Резервы времени»

  • Дать определение полного резерва времени работы.

  • Перечислить свойства полного резерва времени работы.

  • Дать определение свободного резерва времени работы.

  • Перечислить свойства свободного резерва времени работы.

  • Дать определение независимого резерва времени работы.

  • Перечислить свойства независимого резерва времени работы.



Лекция 7. Подкритические работы



  • Работы, лежащие на путях, длина которых отличается от длины критического пути не более чем на величину , называются подкритическими с величиной отклонения .

  • Замечание. Работа длины является подкритической с величиной отклонения , если



  • Подкритическим путем с величиной отклонения называется путь из

  • в , длина которого удовлетворяет неравенствам

  • Утверждение. Работа является подкритической с величиной отклонения тогда и только тогда, когда ее полный резерв времени не превосходит .



ПРИМЕР



  • Пусть =2.

  • Подкритическими работами являются критические работы и работа

  • .

  • Подкритическими путями являются критические пути и путь



Ключевые понятия

  • Подкритическая работа, подкритический путь, полный резерв времени работы.



Вопросы для самопроверки по теме «Подкритические работы»

  • Дать определение подкритической работы.

  • Что такое подкритический путь?

  • Какая существует связь между понятиями подкритической работы и полного резерва времени этой работы?



Лекция 8. Линейная диаграмма проекта



Алгоритм построения линейной диаграммы проекта:

  • на горизонтальной оси наносится равномерная шкала времени;

  • каждая работа изображается полоской, параллельной оси времени, длины, равной продолжительности этой работы;

  • работы откладываются в порядке возрастания индекса , при равенстве этих индексов – в порядке возрастания индекса .



  • Критическое время проекта равно координате по оси времени самого правого конца всех полосок-работ линейной диаграммы.

  • Нахождение критического пути: рассматриваем полоску любой работы, заканчивающейся в критическое время; находим полоску-работу, правый конец которой совпадает с левым концом уже выбранной полоски-работы, и т.д. Полученная последовательность работ составляет критический путь.

  • Минимальное время наступления события - это координата начала полоски- работы для любого .



  • Нахождение максимального времени наступления события : сдвигаем вправо до вертикали критического времени полоски-работы , правым концом которых служит последнее событие; спускаясь затем сверху вниз, сдвигаем одну за другой все полоски вправо на максимально допустимые отрезки, т.е. так, чтобы правые концы сдвигаемых полосок попали на одну вертикаль с самым левым концом уже сдвинутых полосок; левый конец ранее сдвинутых полосок определяет максимальное время наступления события .



  • Полный резерв времени работы - это величина сдвига полоски-работы при нахождении максимальных времен появления событий.

  • Свободный резерв времени работы - это наибольшая длина отрезка, на который можно сдвинуть вправо полоску-работу , не сдвигая других полосок-работ.



  • Нахождение независимого резерва времени работы : сдвигаем полоску-работу до совпадения с ; тогда независимый резерв времени работы - это длина отрезка от конца сдвинутой полоски до минимального времени события .



пример





  • Минимальное время появления события :

  • Максимальное время появления события :



  • Полный резерв времени (ПРВ) некритической работы :

  • Свободный резерв времени (СРВ) некритической работы :



  • Независимый резерв времени (НРВ) некритической работы :



Ключевые понятия

  • Линейная диаграмма проекта, максимальные и минимальные времена появления события, полный, свободный и независимый резервы времени.



Вопросы для самопроверки по теме «Линейная диаграмма проекта»

  • Описать алгоритм построения линейной диаграммы проекта.

  • Как по линейной диаграмме проекта находятся максимальные и минимальные времена появления события?

  • Как по линейной диаграмме проекта находятся полный, свободный и независимый резервы времени?



Лекция 9. Оптимальное по времени распределение ресурсов при постоянных интенсивностях



  • Пусть проект выполняется s различными ресурсами, ежедневное наличие которых

  • Интенсивность потребления k – го ресурса - это количество k – го ресурса, потребляемого в единицу времени.



  • Для каждого ресурса известно:

  • - интенсивность потребления этого ресурса для работы

  • - продолжительность выполнения

  • работы при этой интенсивности



Постановка задачи:

  • оптимальное распределение ресурсов по работам, т.е. размещение работ, которое при заданных ограниченных ресурсах обеспечило бы выполнение проекта в минимальное время



Алгоритм приближенного решения задачи



  • проектируем начало и конец каждой работы на ось времени, проекции обозначаем через ;

  • рассматриваем совокупность работ над промежутком ;

  • нумеруем эти работы в порядке возрастания их ПРВ, при равенстве ПРВ – в порядке убывания их интенсивностей;



  • 6) суммируем интенсивности этих работ в порядке возрастания их номеров;

  • 7) работы, для которых после прибавления их интенсивностей сумма превосходит , сдвигаем вправо к моменту .



  • Предположим проделано k шагов алгоритма, так что суммарная интенсивность работ, размещенных над промежутком , не превышает .



Общий шаг:

  • момент считаем моментом начала оставшейся части проекта;

  • определяем критическое время, критические работы, полные резервы времени для всех работ, начинающихся не ранее ;

  • рассматриваем совокупность работ над промежутком ;



  • 4) нумеруем эти работы в зависимости от условий задачи:

  • а) если работы проекта не допускают перерыва в их выполнении, то первые номера присваиваем продолжающимся работам, остальные работы нумеруем в порядке возрастания их ПРВ, при равенстве ПРВ – в порядке убывания их интенсивностей;



  • б) если работы проекта допускают перерыв в своем выполнении, то нумеруем работы в порядке возрастания их ПРВ, при равенстве ПРВ – в порядке убывания их интенсивностей;

  • 5) суммируем интенсивности этих работ в порядке возрастания их номеров;



  • 6) работы, для которых после прибавления их интенсивностей сумма превосходит , сдвигаем вправо к моменту , причем, если при нумерации а) сдвигу подлежит продолжающаяся работа, то сдвигаем ее полностью.

  • Алгоритм закончен, когда просмотрены все работы проекта.



пример (работы проекта не допускают перерыва в их выполнении, А=12)



Линейная диаграмма проекта:

  • (0,2): (P0,P1), (P0,P3), (P0,P2)



(2,5): (P0,P3), (P1,P3), (P0,P2) , (P1,P4)



(5,6): (P0,P2), (P1,P3), (P1,P4)



(6,9): (P3,P4), (P2,P5), (P1,P4), (P3,P5)



(9,10): (P3,P4), (P2,P5), (P3,P5), (P1,P4)



(10,12): (P3,P4), (P2,P5), (P1,P4)



(12,13): (P2,P5), (P1,P4) (13,15): (P1,P4) (15,17): (P4,P5)



Ключевые понятия

  • Интенсивность потребления ресурса на работе, оптимальное по времени распределение ресурсов при постоянных интенсивностях.



Вопросы для самопроверки по теме «Оптимальное по времени распределение ресурсов при постоянных интенсивностях »

  • Дать определение интенсивности потребления ресурса на работе.

  • Сформулировать задачу оптимального по времени распределения ресурсов при постоянных интенсивностях.

  • Описать алгоритм приближенного решения этой задачи, если работы проекта не допускают перерыва в их выполнении.

  • Описать алгоритм приближенного решения этой задачи, если работы проекта допускают перерыва в их выполнении.



Лекция 10. Уплотнение ресурса



  • Алгоритм уплотнения ресурсов применяется к линейной диаграмме проекта, полученного в результате применения алгоритма приближенного решения задачи оптимального по времени распределения ресурсов при постоянных интенсивностях.



Алгоритм уплотнения ресурсов

  • 1 шаг:

  • проектируем начало и конец каждой работы

  • на ось времени, проекции обозначаем через ;

  • 2) рассматриваем промежуток ;

  • 3) если количество ресурса, потребляемого на этом промежутке меньше имеющегося в наличии, то нумеруем работы, заканчивающиеся событием в момент в порядке убывания их интенсивностей;



  • 4) суммируем потребляемое на промежутке количество ресурса и ресурсом каждой из работ из предыдущего промежутка в порядке их номеров;

  • 5) если полученная сумма не превышает наличия ресурса, то сдвигаем эту работу вправо так, чтобы ее конец совпал с ;

  • 6) после просмотра всех работ их предыдущего промежутка снова проектируем начала и концы всех работ на временную ось.



Общий шаг:

  • 1) рассматриваем промежуток ;

  • 2) если количество ресурса, потребляемого на этом промежутке, меньше имеющегося в наличии, то нумеруем работы, заканчивающиеся в момент , которые сетевой график позволяет сдвигать, в порядке убывания их интенсивностей;

  • 3) если работы проекта не допускают перерыв в своем выполнении, то пронумерованные работы сдвигаем в промежуток как на первом шаге; если наличие ресурса позволяет дальнейший сдвиг работ вправо, то производим его;



  • 4) если работы проекта допускают перерыв в своем выполнении, то пронумерованные работы сдвигаем в промежуток полностью или частично; если наличие ресурса позволяет дальнейший сдвиг части работы вправо, то производим его;

  • 5) проектируем начала и концы всех работ на временную ось.



пример



(12,15): работу сдвигаем на 2 единицы



(10,12): работу сдвигаем на 4 единицы, работу сдвигаем на 10 единицы



(9,10):сдвигов нет, (8,9): сдвигов нет (6,8): работа сдвигается на 2 единицы, работа сдвигается на 3 единицы



Таким образом, продолжительность выполнения проекта сократилась на 2 единицы.



(8,10): работу сдвигаем на 4 единицы



Ключевые понятия

  • Оптимальное по времени распределение ресурсов при постоянных интенсивностях, алгоритм уплотнения ресурсов.



Вопросы для самопроверки по теме «Уплотнение ресурсов »

  • Описать алгоритм уплотнения ресурсов, если работы проекта не допускают перерыва в их выполнении.

  • Описать алгоритм уплотнения ресурсов, если работы проекта допускают перерыва в их выполнении.



Основная литература

  • Зуховицкий С.И., Радчик И.А., Математические методы сетевого планирования. - М.: Наука, 1965.

  • Разумов И.М., Белова Л.Д., Ипатов М.И., Проскуряков А.В., Сетевые графики в планировании: учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1975.

  • Абрамов С.А., Мариничев М.И., Поляков П.Д., Сетевые методы планирования и управления, М., 1965.

  • Новицкий Н.И., Сетевое планирование и управление производством. Учебно-практическое пособие, - М.: Новое знание, 2004.



Дополнительная литература

  • Зайденман И.А., Маргулис А.Я., Математика в сетевом планировании. – М.: Знание, 1967.

  • Васильев В.М., Вальковский Б.В., Лавров М.Ф., Методы планирования и управления по сетевым графикам и их использование в капитальном строительстве МО СССР. – Л.: Высшее военное инженерно-техническое краснознаменное училище, 1966.

  • Кофман А., Дебазей Г., Сетевые методы планирования. Применение системы ПЕРТ и ее разновидностей при управлении производственными и научно-исследовательскими проектами, пер. с франц., М., 1968.



Использование материалов презентации

  • Использование данной презентации возможно только при условии

  • соблюдения требования законов РФ об авторском праве и

  • интеллектуальной собственности ,а также с учётом требований

  • настоящего Заявления.

  • Презентация является собственностью автора. Разрешается

  • распечатывать любую часть презентации для личного

  • некоммерческого использования, но не допускается её

  • использование с какой-нибудь иной целью.

  • Не разрешается вносить изменения в любую часть презентации.



Похожие:

Курс лекций по сетевому анализу Степанова Алена Андреевна профессор кафедры математики и моделирования оглавление Сетевой график iconЧисленные методы Автор курса лекций
Породнов Борис Трифонович, д ф м н., профессор кафедры молекулярной физики угту-упи
Курс лекций по сетевому анализу Степанова Алена Андреевна профессор кафедры математики и моделирования оглавление Сетевой график iconСборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1987
Составитель: Никулина Л. С., старший преподаватель кафедры Математики и Моделирования
Курс лекций по сетевому анализу Степанова Алена Андреевна профессор кафедры математики и моделирования оглавление Сетевой график iconМодели потребительского поведения Тема 3
Микроэкономика-2 для студентов специальности 08011665 «Математические методы в экономике» Гузенко Анна Геннадьевна к тех н., доцент...
Курс лекций по сетевому анализу Степанова Алена Андреевна профессор кафедры математики и моделирования оглавление Сетевой график iconВладимир Биллиг профессор кафедры информатики Тверского госуниверситета Курс «Офисное программирование»
Программирование в среде, представимой в виде совокупности объектов, на встроенном языке, позволяющем работать с объектами среды
Курс лекций по сетевому анализу Степанова Алена Андреевна профессор кафедры математики и моделирования оглавление Сетевой график iconКурс лекций по спецкурсу «квалификация преступления» Автор: старший преподаватель кафедры уголовно-правовых дисциплин Галимов Рустам Ильдарович
В. Н. Кудрявцев определял квалификацию как установление и юридическое закрепление точного соответствия между признаками совершенного...
Курс лекций по сетевому анализу Степанова Алена Андреевна профессор кафедры математики и моделирования оглавление Сетевой график iconКурс лекций по спецкурсу «организованная преступность» Автор: старший преподаватель кафедры уголовно-правовых дисциплин Галимов Рустам Ильдарович
Охватывает 60 е конец 80-х годов, когда командно административная система достигает пика своего развития и одновременно начинается...
Курс лекций по сетевому анализу Степанова Алена Андреевна профессор кафедры математики и моделирования оглавление Сетевой график iconПредседатель гак: Председатель гак
Рыспеков Мырзабек Мырзашевич профессор кафедры хирургических болезней Акционерного общества «Медицинский университет Астана» (по...
Курс лекций по сетевому анализу Степанова Алена Андреевна профессор кафедры математики и моделирования оглавление Сетевой график iconАстаева Алена Васильевна Преподаватель кафедры клинической психологии юурГУ
Клинико-психологическая диагностика развития впф детей дошкольного и младшего школьного возраста
Курс лекций по сетевому анализу Степанова Алена Андреевна профессор кафедры математики и моделирования оглавление Сетевой график iconКурс лекций для специальности 311300 Лекция 8 Передача винт гайка

Курс лекций по сетевому анализу Степанова Алена Андреевна профессор кафедры математики и моделирования оглавление Сетевой график iconВгуэс кафедра математики и моделирования

Разместите кнопку на своём сайте:
hnu.docdat.com


База данных защищена авторским правом ©hnu.docdat.com 2012
обратиться к администрации
hnu.docdat.com
Главная страница