Задача Гильберта для уравнений Коши-Римана в круге




НазваниеЗадача Гильберта для уравнений Коши-Римана в круге
Дата конвертации22.02.2013
Размер445 b.
ТипЗадача


МОДУЛЬ 5

  • УЭ-5

  • Задача Гильберта для уравнений Коши-Римана в круге


Пусть G - единичный круг на плоскости с границей Г и функции

  • Пусть G - единичный круг на плоскости с границей Г и функции

  • таковы, что Требуется найти функции

  • являющиеся решением системы уравнений Коши-Римана в круге G:

  • (5.1)

  • и удовлетворяющие на единичной окружности Г граничному условию

  • (5.2)

  • Определение 5.1. Индексом граничного условия (5.2) называется число N оборотов вокруг начала координат на плоскости которые совершает вектор с координатами при изменении аргумента от 0 до

  • Теорема 5.1. (О разрешимости)

  • 1. Если индекс граничного условия (5.2) то задача Гильберта (5.1), (5.2) всегда имеет не единственное решение, зависящее от произвольной постоянной.

  • 2. При если задача Гильберта разрешима, то она разрешима единственным образом, но для этого необходимо и достаточно, чтобы правая часть была ортогональна к любой функции из некоторой линейной конечномерной системы функций, размерность которой



Доказательство.

  • Доказательство.

  • 1. Предположим вначале, что и есть граничные значения действительной и мнимой частей некоторой аналитической в G и не равной там нулю функции

  • Тогда аналитическая в круге функция

  • имеет вещественную часть значение которой на Г известно:

  • (5.3)

  • Тогда гармоническая функция однозначно определяется как решение задачи Дирихле, а по ней гармонически сопряженная функция находится с точностью до произвольной постоянной. А тогда

  • (5.4)



2. Заметим, что граничное условие (5.2) эквивалентно любому условию вида

  • 2. Заметим, что граничное условие (5.2) эквивалентно любому условию вида

  • какова бы ни была строго положительная функция Поэтому в общем случае

  • подберём множитель так, чтобы функции и

  • были граничными значениями действительной и мнимой частей аналитической в круге

  • функции

  • Будем строить функцию С без нулей внутри круга в виде

  • где - аналитическая в G функция. Эти функции на окружности Г удовлетворяют

  • условиям:

  • (5.5)

  • Таким образом, необходимо определить функции из уравнений (5.5). Из

  • определения индекса N видно, что при движении точки s по окружности Г против

  • часовой стрелки вектор

  • обойдёт окружность N раз. А так как функция q является аргументом этого вектора, то

  • она получит приращение и уже при не является однозначной.

  • Поэтому разделив q на аналитическую функцию имеющую тот же индекс,

  • получим на Г функцию

  • аргумент которой определяется однозначно.



Приняв эти значения аргумента за граничные значения функции

  • Приняв эти значения аргумента за граничные значения функции

  • построим внутри круга аналитическую функцию

  • Произвольную постоянную, появляющуюся при определении функции

  • фиксируем каким-либо определённым образом. И пусть теперь

  • Тогда на границе Г имеем

  • Следовательно, функция

  • (5.6)

  • на границе круга Г равна

  • Опр. 5.2. Множитель называется регуляризирующим множителем.



  • 1. Пусть вначале

  • В этом случае построенная аналитическая функция имеет внутри

  • круга G единственный нуль порядка N в начале координат.

  • Построим аналитическую в G и непрерывную вплоть до границы функцию

  • по граничным значениям её действительной части

  • Тогда функция является искомой.

  • Действительно, по построению она аналитична в круге G и непрерывна вплоть до

  • границы Г и, так как

  • то и существование решения при установлено.



Исследуем теперь вопрос о степени неединственности этого решения.

  • Исследуем теперь вопрос о степени неединственности этого решения.

  • Ясно, что решение задачи Гильберта определяется с точностью до произвольного

  • решения однородной задачи. Итак, пусть решение однородной

  • задачи, то есть а, следовательно, Поэтому функция

  • имеет вещественную часть

  • Так как регулярна внутри круга, имеет в начале координат

  • нуль кратности N, то функция имеет в начале координат

  • полюс порядка не выше чем N.



Построим общий вид аналитической функции имеющей в начале координат полюс кратности не выше чем N и такой, что

  • Построим общий вид аналитической функции имеющей в начале координат полюс кратности не выше чем N и такой, что

  • Пусть имеет в центре круга полюс с главной частью

  • А так как полином имеет вещественную часть, принимающую на границе Г те же значения, что и вещественная часть главной части, то функция

  • имеет вещественную часть, обращающуюся на Г в нуль, и ту же главную часть,

  • что и Следовательно, ограничена, и

  • вещественная часть разности принимает на Г нулевые значения. Отсюда Итак,

  • (5.7)

  • При этом постоянные произвольны и их число равно



2. Пусть и - решение задачи Гильберта. Так как функция имеет полюс порядка в начале координат, то функция

  • 2. Пусть и - решение задачи Гильберта. Так как функция имеет полюс порядка в начале координат, то функция

  • имеет нуль в начале координат кратности не меньше чем Причём

  • Коэффициенты ряда Тейлора функции

  • определяются по формулам

  • однозначно, где С - произвольная постоянная, а - коэффициенты Фурье

  • функции



Поэтому функция определяется по граничному условию

  • Поэтому функция определяется по граничному условию

  • этими коэффициентами однозначно, причём первые коэффициентов

  • обращается в нуль. Итак, если при задача Гильберта разрешима, то

  • (5.8)

  • и это решение единственно. Если ввести в рассмотрение функции

  • то необходимые и достаточные условия разрешимости (5.8) задачи Гильберта

  • окончательно примут вид:

  • (5.9)

  • Заметим, что линейная зависимость функций прямо следует

  • из теории тригонометрических рядов Фурье.



Примеры.

  • Примеры.

  • 1. Пусть Задача Гильберта перешла в задачу Дирихле для гармонической функции Сопряжённая с ней гармоническая функция определяется с точностью до произвольной постоянной, что полностью соответствует теореме (5.1) при

  • 2. Задача с косой производной. Требуется найти гармоническую в единичном круге G функцию непрерывную вплоть до границы Г вместе с первыми производными, удовлетворяющую граничному условию

  • где - некоторое направление, а - производная по этому направлению. Если положить

  • и

  • то задача с косой производной для функции перейдёт в задачу Гильберта для пары функций u и v, разрешимость которой зависит от индекса граничного условия (5.2). В частном случае, когда где - единичная внешняя нормаль, мы имеем задачу Неймана. При этом а индекс граничного условия Функция и условие разрешимости (5.9) принимает вид (4.1).



Похожие:

Задача Гильберта для уравнений Коши-Римана в круге iconЗадача алгебры решение уравнений и систем уравнений
В 5 веке в трудах индийских математиков появились задачи, для решения которых требовались квадратные уравнения, но рассматривались...
Задача Гильберта для уравнений Коши-Римана в круге iconРешение уравнений геометрическим методом. Геометрические методы решения уравнений в свою очередь можно разделить на: а векторный метод решения уравнений

Задача Гильберта для уравнений Коши-Римана в круге iconРешение задач Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача из демоверсии Егэ-2012 (№ А8)
Непрерывная звуковая волна разбивается на отдельные маленькие временные участки, для каждого такого участка устанавливается определенная...
Задача Гильберта для уравнений Коши-Римана в круге iconЛекция 4 «Особенности численного решения ду 2-го порядка, уравнений эллиптического типа»
Знакомство с методами решения основных видов дифференциальных уравнений 2-го порядка
Задача Гильберта для уравнений Коши-Римана в круге iconНестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств
Цель обучение учащихся решению нестандартных уравнений и неравенств за счет глубокого понимания теоретических основ, применяемых...
Задача Гильберта для уравнений Коши-Римана в круге iconУрока: Цель урока: Сформировать представление о математической модели система уравнений Изучить графический метод решения систем уравнений
Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными, сколько решений может иметь уравнение
Задача Гильберта для уравнений Коши-Римана в круге iconЗадача → Задача →
Задача увеличить цену объекта (сохранив привычный образ объекта и его старые функции)
Задача Гильберта для уравнений Коши-Римана в круге iconЗадача о первообразной. Задача о первообразной. Найти функцию такую, что Решение. Задача о движении

Задача Гильберта для уравнений Коши-Римана в круге iconЗадача о первообразной. Задача о первообразной. Найти функцию такую, что Решение. Задача о движении

Задача Гильберта для уравнений Коши-Римана в круге iconЛекция Замкнутая система уравнений сохранения для идеальной среды. Изоэнтропическое движение

Разместите кнопку на своём сайте:
hnu.docdat.com


База данных защищена авторским правом ©hnu.docdat.com 2012
обратиться к администрации
hnu.docdat.com
Главная страница