Решение задач на проценты Подготовила: Шишеня Екатерина ученица 11 класса а мбоу сош №40 г. Смоленска




НазваниеРешение задач на проценты Подготовила: Шишеня Екатерина ученица 11 класса а мбоу сош №40 г. Смоленска
Дата конвертации17.02.2013
Размер445 b.
ТипРешение


  • Решение задач на проценты

  • Подготовила: Шишеня Екатерина

  • ученица 11 класса А

  • МБОУ СОШ №40 г.Смоленска

  • Научный руководитель: Мурасёва Ж.В.


Цель:

  • Цель:

  • научиться решать сложные и простые задачи на проценты, так как они входят в ЕГЭ.

  • Задачи:

  • вспомнить основные соотношения и выражения для решения простейших задач;

  • научиться решать задачи на растворы и смеси, переливания, на сложные проценты(цена, банк, рост населения и т.д.), задачи о вкладах и займах;

  • подготовиться к ЕГЭ.





В простейших задачах на проценты некоторые величина а принимается за 100%, а ее часть b выражается p%.

  • В простейших задачах на проценты некоторые величина а принимается за 100%, а ее часть b выражается p%.



Основные соотношения и выражения при решении задач на проценты.

  • Основные соотношения и выражения при решении задач на проценты.

  • 1.Предложение «Число a увеличили на p %» представляется выражением a(1+0,01p).

  • 2. Предложение «Число a увеличили сначала на p%, а потом еще на q%» представляется выражением a(1+0,01p)(1+0,01q).

  • 3. Предложение «Число a уменьшили на p%» представляется выражением a(1-0,01p).

  • 4.Предложение «Число a увеличили на p%, а потом уменьшили на q% » представляется выражением a(1+0,01p)(1-0,01q).



Чтобы найти процент от числа, надо это число умножить на соответствующую дробь.

  • Чтобы найти процент от числа, надо это число умножить на соответствующую дробь.



Чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответствующую этому проценту, разделить на дробь.

  • Чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответствующую этому проценту, разделить на дробь.



Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100%.

  • Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100%.



Впервые учащиеся средней школы встречаются с понятием процента в 5 классе. Там рассматриваются простейшие задачи на нахождение процента от числа и нахождение числа по его проценту.

  • Впервые учащиеся средней школы встречаются с понятием процента в 5 классе. Там рассматриваются простейшие задачи на нахождение процента от числа и нахождение числа по его проценту.

  • В 6 классе отрабатывается умение находить процент от числа на простейших задачах типа « Сколько квадратных метров составляют 1% гектара, 35% ара и т.д .



В теме «Нахождение числа по его дроби» рассматриваются задачи «35% от 128,1 составляют 49% неизвестного числа. Найдите это число» (№660) и «Овощная база в первый день отпустила 40% всего имевшегося картофеля, а во второй день – 60% остатка, а в третий день – остальные 72 т. Сколько тонн картофеля было на базе?» (№662) или «В школе учатся 360 девочек. Сколько учащихся в школе, если мальчики составляют 52% всех учащихся?» (№1527).

  • В теме «Нахождение числа по его дроби» рассматриваются задачи «35% от 128,1 составляют 49% неизвестного числа. Найдите это число» (№660) и «Овощная база в первый день отпустила 40% всего имевшегося картофеля, а во второй день – 60% остатка, а в третий день – остальные 72 т. Сколько тонн картофеля было на базе?» (№662) или «В школе учатся 360 девочек. Сколько учащихся в школе, если мальчики составляют 52% всех учащихся?» (№1527).



  • В 7 классе (учебник «Алгебра 7» под редакцией С.А.Теляковского) нам предложены такие задачи на проценты как:

  •  

  • №18. За несколько книг уплатили 320 р. Стоимость одной из книг составила 30%, другой 45% израсходованных денег. На сколько рублей первая книга дешевле второй? 

  • №19. Площадь участка поля 80 га. Первый тракторист вспахал 40% этого участка, а второй 60% оставшейся части. Кто из них вспахал больше и на сколько гектаров?



№20. На поле собрали с каждого гектара 44 ц пшеницы. Применение интенсивной технологии позволило увеличить производство пшеницы на той же площади на 25 %. Сколько центнеров пшеницы с гектара стали собирать на поле?

  • №20. На поле собрали с каждого гектара 44 ц пшеницы. Применение интенсивной технологии позволило увеличить производство пшеницы на той же площади на 25 %. Сколько центнеров пшеницы с гектара стали собирать на поле?

  •  №45. После того как из бидона отлили 30% молока, в нем осталось 14л. Сколько литров молока было в бидоне первоначально? Решение: пусть первоначально в бидоне было 100%-х л

  • После того как из него отлили 30 % молока: 70%-14л

  • Отсюда, 0,7х=14, х=20, 20 литров молока было первоначально в бидоне.

  • Ответ:20 л.



В 8 классе всего пять задач на проценты! Одна из них на смеси (№630), три - на сплавы и одна задача на работу:

  • В 8 классе всего пять задач на проценты! Одна из них на смеси (№630), три - на сплавы и одна задача на работу:

  • №630. В водный раствор соли добавили 100г воды. В результате концентрация соли в растворе понизилась на 1%. Определите первоначальную массу раствора, если известно, что в нем содержалось 30 г соли.

  • №631. Сплав золота и серебра содержал 40г золота. После того как к нему добавили 50г золота, получили новый сплав, в котором содержание золота возросло на 20%. Сколько серебра было в сплаве?



 

  •  

  • №718. Сплав меди с цинком, содержащий 6 кг цинка, сплавили с 13 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизилось на 26%. Какова была первоначальная масса сплава?

  • №722. Два слесаря получали заказ. Сначала 1 ч. Работал первый слесарь, затем 4 ч они работали вместе. В результате было выполнено 40% заказа. За сколько часов мог выполнить заказ каждый слесарь, если первому для этого понадобилось бы на 5 ч больше, чем второму? Хотя эту задачу нужно всё таки на совместную работу, проценты здесь упоминаются вскользь.



  • Рассмотрим задачи, которые используются в 9 классе.

  • №340 (учебник «Алгебра 9» под редакцией С.А.Теляковского)

  • Два сосуда были наполнены растворами соли, причем в первом сосуде содержалось на 1 л меньше раствора, чем во втором. Концентрация раствора в первом сосуде составляла 10%, а во втором - 29%. После того как растворы слили в третий сосуд, получили новый раствор, концентрация которого составила 16%. Сколько раствора было в каждом сосуде первоначально?

  •  №477. К раствору. Содержащему 50г соли, добавили 150 г воды. После этого его концентрация уменьшилась на 7,5%. Сколько воды содержал раствор и какова была его концентрация?



И в конце ученика еще три задачи на проценты:

  • И в конце ученика еще три задачи на проценты:

  • №968. На опытном поле под рожь отвели участок 20 га, а под пшеницу – 30 га. В прошлом году с обоих участков собрали 2300 ц зерна. В этом году урожайность ржи повысилась на 20%, а пшеницы – на 30% и поэтому собрали зерна на 610 ц больше, чем в прошлом году. Какова урожайность каждой культуры в этом году?

  •  Решение: Пусть х ц/га урожайность ржи, а пшеницы – у ц/га в прошлом году, тогда в прошлом году собрали 20х ц ржи и 30 у ц пшеницы. Так как всего в прошлом году собрали 2300 ц, то составим уравнение : 20х + 30У = 2300. В этом году урожайность ржи составила 1,2х ц/га и пшеницы – 1,3у ц/га, причем всего ржи собрали 1.2х*20 =24х ц, а пшениц – 1.3у *30 =39у ц.Так как в этом году собрали на 610 ц больше, то составим уравнение: 24х + 39у =2300 + 610.Составив и решив систему двух уравнений получим у=50, х =40, тогда 1.2х=48, и 1.3у = 65. Ответ:48ц, 65 ц.

  •  



№970. Имеются два сплава серебра с медью. Первый содержит 67% меди, а второй – 87% меди. В каком соотношении нужно взять эти два сплава, чтобы получить сплав, содержащий 79% меди? 

  • №970. Имеются два сплава серебра с медью. Первый содержит 67% меди, а второй – 87% меди. В каком соотношении нужно взять эти два сплава, чтобы получить сплав, содержащий 79% меди? 

  • Решение: пусть масса первого сплава – х, а второго – у, а содержание меди в них соответственно 0,67х и 0,87у, тогда масса полученного сплава х + у, а меди в нем – 0,79(х + у). Так как масса меди не изменилась, то 0,67х + 0,87у = 0,79(х + у). Преобразовав уравнение получим 0,08у = 0,12х, отсюда получим, что х:у =0,08 : 0,12 т.е. х : у = 2 :3. Ответ: 2:3.

  •  №971. Смешали два раствора соли. Концентрация первого составляла 40%, а концентрация второго – 48%. В результате получился раствор соли концентрацией 42%. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

  • Рассуждая аналогично задачи 970 получим, что растворы нужно взять в отношении 3 : 1.



РЕШЕНИЕ СЛОЖНЫХ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ

  • РЕШЕНИЕ СЛОЖНЫХ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ

  •  

  • АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА РАСТВОРЫ И СМЕСИ

  •  

  • Для решения задач этого типа удобно использовать таблицу















10. Сплав весит 2 кг и состоит из серебра и меди, причем все серебра составляет 14 % веса меди. Сколько серебра в данном сплаве?

  • 10. Сплав весит 2 кг и состоит из серебра и меди, причем все серебра составляет 14 % веса меди. Сколько серебра в данном сплаве?

  • Решение:

  •  Пусть х кг меди в сплаве, тогда серебра в нем х*14 /100=х/7(кг).

  • Т.к. масса сплава 2 кг, то составим уравнение и решим его:

  • х+х/7=2

  • 7х+х=14

  • 8х=14

  • Х=1,75кг

  • х/7=1,75/7=0,25кг

  • Ответ:0,25кг.

































При решении задач можно пользоваться соотношениями:

  • При решении задач можно пользоваться соотношениями:

  • 1.Приняв от клиента сумму под а % годовых, банк должен выплатить клиенту через 1 год сумму

  • S0(1+а*0,01)

  • 2.Получив в банке кредит на сумму под а % годовых, клиент должен выплатить банку через 1 год сумму

  • S0(1+а*0,01)









3.Вкладчик положил в банк 100 000руб. из расчета 21% годовых. Через полгода он снял деньги. Сколько денег было выдано вкладчику?

  • 3.Вкладчик положил в банк 100 000руб. из расчета 21% годовых. Через полгода он снял деньги. Сколько денег было выдано вкладчику?

  • Решение:

  • Sn=100000*(1+0,21)0,5=100000*1,1=110000(руб.)

  • Ответ:110000рублей.



 

  •  

  • 4.Цех в целом увеличил за год выпуск продукции на 34%, причем 20% рабочих цеха увеличили выпуск продукции на 50%. На сколько процентов увеличили выпуск продукции остальные рабочие цеха?

  • Решение:

  • Пусть S-объем продукции, которую выполняют все рабочие по плану и 1,34S объем продукции, которую они выполняли в действительности. Тогда 0,2S- объем продукции, которую должны были выпустить 20% рабочих и 0,8S-остальные.0,2S(1+50*0.01) - объем продукции, которую выпустили 20% рабочих в действительности. Пусть на х % увеличили выпуск продукции 80% рабочих, тогда 0,8S(1+х*0,01)-объем продукции, который они выпустили. Т.к. всего выпустили 1,34S, то:

  • 0,2S(1+0,5)+0,8S(1+х*0,01)=1,34S

  • 0,3S+0,8S(1+х*0,01)=1,34S

  • S(0,3+0,8+0,008х) =1,34S

  • 1,1+0,008х=1,34

  • 0,008х=0,24

  • х=30На 30% увеличили выпуск продукции остальные рабочие цеха.

  • Ответ:30%.



5.Первый банк дает 60% годовых, а второй- 40%. Вкладчик часть своих денег положил в первый банк, а остальные - во второй. Через 2 года суммарное число вложенных денег удвоилось. Какую долю своих денег положил вкладчик в первый банк?

  • 5.Первый банк дает 60% годовых, а второй- 40%. Вкладчик часть своих денег положил в первый банк, а остальные - во второй. Через 2 года суммарное число вложенных денег удвоилось. Какую долю своих денег положил вкладчик в первый банк?

  • Решение:

  • Пусть х рублей вкладчик положил в первый банк и у рублей - во второй., тогда через 2 года у него будет:

  • х(1+0,6)2+у(1+0,4)2=2(х+у)

  • 1,62х+1,42у=2х+2у

  • 2,56х+1,96у=2х+2у

  • 0,56х=0,04у

  • х/у=0,04/0,56

  • х/у=1/14, т.е. х составляет одну часть, а у-14 частей. Всего денег 15 частей, значит, х составляет 1/15часть.

  • Ответ:1/15.







1.Даны 3 числа. Сумма 2 чисел и утроенного третьего равна 95. Третье число на 25% меньше первого, а второе на 50% больше первого. Найдите третье число.

  • 1.Даны 3 числа. Сумма 2 чисел и утроенного третьего равна 95. Третье число на 25% меньше первого, а второе на 50% больше первого. Найдите третье число.

  • Решение:

  • Пусть х- третье число, тогда первое число 100х/75=4/3х, а второе 4/3х*1,5=2х

  • 4/3х+2х+3х=95

  • 19/3х=95

  • х=15

  • 15-третье число.

  • Ответ:15.



2.Сумма двух чисел равна 96, а 25% их разности равны меньшему числу. Найдите число, которое на 35% больше большего из этих чисел.

  • 2.Сумма двух чисел равна 96, а 25% их разности равны меньшему числу. Найдите число, которое на 35% больше большего из этих чисел.

  • Решение:

  • Пусть х - первое число(меньшее), а (96-х) второе. Тогда:

  • 0,25(96-х-х)=х

  • 96-2х=4х

  • 6х=96

  • х=16

  • 96-16=80

  • 1,35*80=108

  • 108-искомое число.

  • Ответ:108.



3.Цена товара после 2-х последовательных снижений со 125 до 80 рублей.

  • 3.Цена товара после 2-х последовательных снижений со 125 до 80 рублей.

  • На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз?

  • Решение:

  • Sn=S0(1 а*0,01)n

  • 80=125(1-а*0,01)2

  • (1-а*0,01)2=0,64

  • 1-а*0,01=0,8

  • а*0,01=0,2

  • а=20

  • На 20% цена товара снижалась каждый раз.

  • Ответ:20%.



4.Первоначальная цена на некоторый товар была повышена на 44%, затем 2 раза понижалась на одинаковое число процентов. В результате окончательная цена товара оказалась на 19 % меньше первоначальной. На сколько процентов производилось 2-кратное снижение цены?

  • 4.Первоначальная цена на некоторый товар была повышена на 44%, затем 2 раза понижалась на одинаковое число процентов. В результате окончательная цена товара оказалась на 19 % меньше первоначальной. На сколько процентов производилось 2-кратное снижение цены?

  • Решение:

  • Пусть S0- начальная цена, тогда конечная цена товара

  • S0(100%-19%)/100= 0,81 S0 и на а % дважды понижалась цена, тогда по формуле повышения/понижения процентов имеем:

  • S0(1+44*0,01)(1-а*0,01)2=0,81 S0

  • 1,44 S0(1-а*0,01)2=0,81 S0

  • (1-а*0,01)2=81/144

  • (1-а*0,01)=9/12

  • а*0,01=3/12

  • а*0,01=0,25

  • а=25%

  • На 25 % производилось 2-кратное понижение цены.

  • Ответ: 25%.



5.После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов цена одной упаковки лекарства снизилась с 300 р. до 192р. На сколько процентов снижалась цена одной упаковки лекарства каждый раз?

  • 5.После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов цена одной упаковки лекарства снизилась с 300 р. до 192р. На сколько процентов снижалась цена одной упаковки лекарства каждый раз?

  • Решение:

  • 192=300(1-а*0,01)2

  • (1-а*0,01)2=192/300

  • (1-а*0,01)2=0,64

  • (1-а*0,01)=0,8

  • а*0,01=0,2

  • а=20%

  • На 20% снижалась цена одной упаковки лекарства каждый раз.

  • Ответ:20%



6.Население города за два года увеличилось со 20000 до 22050 человек.

  • 6.Население города за два года увеличилось со 20000 до 22050 человек.

  • Найдите средний ежегодный процент роста населения города.

  • Решение:

  • 20000(1+а*0,01)2=22050

  • (1+а*0,01)2=441/400

  • (1+а*0,01)=21/20

  • а*0,01=0,05

  • а=5%-средний ежегодный процент роста населения города.

  • Ответ:5%.





1.Найдите трехзначное число, все цифры которого различны (или сумму таких трехзначных чисел, если их несколько), которое при перестановке третьей цифры в начало числа увеличивается на 187,5 процента. (Из сборника заданий для подготовки к ЕГЭ).

  • 1.Найдите трехзначное число, все цифры которого различны (или сумму таких трехзначных чисел, если их несколько), которое при перестановке третьей цифры в начало числа увеличивается на 187,5 процента. (Из сборника заданий для подготовки к ЕГЭ).

  • Решение:

  • Пусть первая цифра числа х, вторая цифра у, а третья цифра z.

  • Т.к. мы используем десятичную позиционную систему счисления, то заданное число равно 100х+10у+z.

  • Если переставить третью цифру в начало числа, то новое число запишется в виде 100z+10х+у.

  • Увеличение положительного числа на р % равносильно умножению его на коэффициент k1=1+р/100 , а уменьшение - k2=1-р/100

  • В нашем случае k1=1+187,5/100=23/8

  • (100х+10у+z)*23/8=100z+10х+у

  • 2220х+222у-777z=0

  • 222у=777z-2220х

  • у=3,5z-10х

  • Если z=4,х=1, у=4

  • Если z=6, х=2, у=1

  • z=8, х=2, у=8

  • 144,216,288.

  • 216-искомое число.

  • Ответ:216.



 

  •  

  • 2.Найдите все двузначные числа , равные удвоенной сумме своих цифр.

  • Решение:

  • Пусть х- число десятков, а у- число единиц, тогда искомое число 10х+у, по условию 10х+у=2(х+у)

  • 10х+у=2х+2у

  • 8х=у

  • Число единиц в 8 раз больше числа десятков, следовательно, это число 18.

  • Других вариантов нет, т.к. 2*10+16 не подходит.

  • Ответ:18.



Заключение

  • Выбранная мною тема является актуальной для выпускников школ. В процессе выполнения работы я научилась решать задачи на проценты различных видов, что помогает мне готовиться к ЕГЭ.



Список литературы.

  • Список литературы.

  • 1.ЕГЭ-2007.Математика. Тренировочные задания / Т.А. Корешкова, Н.В.Шевелева, В.В.Мирошин- Москва.: Просвещение ; Эксмо,2007.-80с.

  • 2.Единственные реальные варианты заданий для подготовки к единому государственному экзамену. ЕГЭ-2007. Математика./А.Г.Клово.-М.: Федеральный центр тестирования,2007.-94с.

  • 3.Научно-методический журнал «Математика в школе».Главный редактор А.И.Верченко. Июль/август 1998, №4

  • 4.Демонстрационные варианты единого государственного экзамена 2007,2008 и 2009 года.

  • 5.Задачник для учебных общеобразовательных учреждений/Л.И.Зваавич, А.Р.Рязановский,2009.





Похожие:

Решение задач на проценты Подготовила: Шишеня Екатерина ученица 11 класса а мбоу сош №40 г. Смоленска iconПрезентацию подготовила ученица 10 класса «А» мбоу сош №6 им. И. Т. Сидоренко Замковая Валерия

Решение задач на проценты Подготовила: Шишеня Екатерина ученица 11 класса а мбоу сош №40 г. Смоленска iconИспользование информационных технологий в психологии Презентацию подготовила ученица 11Б класса
Без использования вычислительной техники невозможно решение ряда психологических задач [2]
Решение задач на проценты Подготовила: Шишеня Екатерина ученица 11 класса а мбоу сош №40 г. Смоленска iconАвторы презентации: ученицы 11А класса мбоу сош №131 г. Новосибирска Галактионова Анастасия и Краскова Екатерина

Решение задач на проценты Подготовила: Шишеня Екатерина ученица 11 класса а мбоу сош №40 г. Смоленска iconРешение исследовательских задач, имеющих практическое значение для школы
...
Решение задач на проценты Подготовила: Шишеня Екатерина ученица 11 класса а мбоу сош №40 г. Смоленска iconПодготовила ученица 10 класса моу сош №7 Карпенко Анна
На основе материалов, и документов исследования, изучить заповедники России, их историю возникновения и статусы
Решение задач на проценты Подготовила: Шишеня Екатерина ученица 11 класса а мбоу сош №40 г. Смоленска iconПроценты простые и сложные в классической литературе в современной жизни. Учебный проект по математике Кочикина Ивана, ученика 7 «Б» класса
Цель: популярно объяснить экономические вопросы через проценты и кредит; расширить представления о процентных вычислениях за счет...
Решение задач на проценты Подготовила: Шишеня Екатерина ученица 11 класса а мбоу сош №40 г. Смоленска iconКлассный Егорова Галина Николаевна мбоу «Янтиковская сош» Классный Егорова Галина Николаевна мбоу «Янтиковская сош»
Участник проекта: Иванов Николай Евгеньевич, ученик 9А класса мбоу «Янтиковская сош»
Решение задач на проценты Подготовила: Шишеня Екатерина ученица 11 класса а мбоу сош №40 г. Смоленска iconТема: «Потомки великого поэта и просветителя – Мифтахетдина Акмуллы»
...
Решение задач на проценты Подготовила: Шишеня Екатерина ученица 11 класса а мбоу сош №40 г. Смоленска iconУченик 7 а класса мбоу обливской сош №1. Ученик 7 а класса мбоу обливской сош №1
Самка откладывает одно яйцо и вынашивает его в сумке. Ее вылупившийся детеныш развивается в сумке и слизывает выделения млечных желез...
Решение задач на проценты Подготовила: Шишеня Екатерина ученица 11 класса а мбоу сош №40 г. Смоленска iconУченица 9 г класса моу «сош №4» Ученица 9 г класса моу «сош №4»
...
Разместите кнопку на своём сайте:
hnu.docdat.com


База данных защищена авторским правом ©hnu.docdat.com 2012
обратиться к администрации
hnu.docdat.com
Главная страница