Немцова А. А. Принцип двойственности в проективной геометрии




НазваниеНемцова А. А. Принцип двойственности в проективной геометрии
Дата конвертации05.02.2013
Размер444 b.
ТипПрезентации


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П.КОРОЛЕВА»

  • Немцова А.А.

  • Принцип двойственности в проективной геометрии.

  • Преподаватель Калугин Н.А.


Цели доклада

  • Познакомить с основами проективной геометрии, в частности с принципом двойственности.

  • Показать применения принципа двойственности для основных теорем проективной геометрии.

  • Показать на примерах удобство применения принципа двойственности для решения задач.





Основные понятия.

  • Основные понятия.

  • Назовем точку с координатами инцидентной прямой с

  • координатами если имеет место равенство

  • При этом прямая называется инцидентной точке.

  • Данное определение задает отношение инцидентности между прямыми и точками проективной плоскости. В частности, инцидентными некоторой точке будут все прямые, проходящие через эту точку, а инцидентными некоторой прямой являются все точки этой прямой. Поставим теперь во взаимно однозначное соответствие каждой точке проективной плоскости прямую, чьи проективные координаты совпадают с проективными координатами точки. Тем самым определяется взаимно однозначное отображение множества элементов проективной плоскости (точек и прямых) само на себя, причем это отображение сохраняет инцидентность. Действительно, данное отображение переводит точку в прямую , а прямую в точку , что не изменяет условию инцидентности.

  • принцип двойственности для проективной плоскости.

  • Пусть верно какое-нибудь предложение, касающееся точек, прямых и отношения инцидентности между ними. Тогда будет верно и двойственное предложение, полученное из исходного заменой слова «прямая» на слово «точка» и наоборот.



Приведем примеры двойственных в указанном смысле предложений

  • Теорема1.Для всяких двух различных точек проективной плоскости имеется единственная прямая, им инцидентная.

  • Теорема1*.Для всяких двух различных прямых проективной плоскости имеется единственная точка, им инцидентная

  • Теорема2.Пусть есть координаты трех точек проективной плоскости. Необходимым и достаточным условием того, чтобы эти три точки лежали на одной прямой (были инцидентны одной прямой) является равенство

  • Теорема2*.Пусть есть координаты трех прямых проективной плоскости. Необходимым и достаточным условием того, чтобы эти три прямые проходили через одну точку (были инцидентны одной прямой) является выполнение равенства



Основные теоремы проективной геометрии

  • Теорема Дезарга

  • Если два треугольника на плоскости расположены таким образом, что прямые, соединяющие соответственные вершины, конкурентны, то три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон, коллинеарны.

  • Двойственная ей Теорема

  • Если два треугольника на плоскости расположены таким образом, что три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон, коллинеарны, то прямые, соединяющие соответственные вершины, конкурентны.



Теорема Паппа

  • Теорема Паппа

  • Пусть A, B, C — три точки на одной прямой, а A' , B' , C' — на другой. Пусть три прямые АВ' , BC' , CA' пересекают прямые A'B, B'C, C'A, соответственно в точках X, Y и Z. Тогда X, Y и Z лежат на одной прямой

  • Двойственная к ней вырожденная Теорема Брианшона

  • Если стороны шестиугольника проходят поочерёдно через две данные точки, то три диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, конкурентны



  • Теорема Паскаля

  • Если шестиугольник вписан в окружность либо любое другое коническое сечение (эллипс, параболу, гиперболу, даже пару прямых), то точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной прямой

  • двойственная ей теорема Брианшона

  • Если шестиугольник описан около конического сечения, то три диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, конкурентны



Примеры решения задач

  • Примеры решения задач



Спасибо за внимание

  • Спасибо за внимание



Похожие:

Немцова А. А. Принцип двойственности в проективной геометрии iconИсследовательская работа по геометрии, 7 класс. Как доказать истину в геометрии? Авторы: учащиеся 7Д класса
Найти с помощью чего и как в геометрии доказывается истинность того или иного математического утверждения?
Немцова А. А. Принцип двойственности в проективной геометрии iconВневписанная окружность Геометрия является самым могущественным
Г. Галилей Простейший из многоугольников треугольник играет в геометрии особую роль. За несколько тысячелетий геометры столь подробно...
Немцова А. А. Принцип двойственности в проективной геометрии iconЗаседание знатоков деятельности Николая Ивановича Лобачевского «Коперник» геометрии Н. И. Лобачевский Новая геометрия Революция в геометрии
Был основан капитал, на средства которого в Казани был открыт в 1896 г памятник Лобачевскому работу скульптора М. Диллон, и учреждено...
Немцова А. А. Принцип двойственности в проективной геометрии iconПринцип непрерывности – основной принцип мироздания
Абдурахманов Амир, Асхотов Рамазан, Гейдаров Али, Денисов Евгений, Запарин Максим, Смирнов Сергей, Федоренко Владимир
Немцова А. А. Принцип двойственности в проективной геометрии iconМоу казачинская сош кутимская Евгения Александровна
Обобщить и повторить изученный материал; 2 углубление знаний по геометрии в ходе подготовки к уроку через поисковую и творческую...
Немцова А. А. Принцип двойственности в проективной геометрии iconПринцип Паулі в загальному Принцип Паулі в загальному
В даній системі тотожних ферміонів будь-які два з них не можуть одночасно знаходитись в тому самому стані
Немцова А. А. Принцип двойственности в проективной геометрии iconГипотеза: Задачи: провести эксперимент «Иллюзии зрения»
«Иллюзии зрения»; изучить постулаты Евклидовой геометрии; изучить аксиомы геометрии Лобачевского
Немцова А. А. Принцип двойственности в проективной геометрии iconПоказать возможности Геометрии в архитектуре Показать возможности Геометрии в архитектуре
Практика поколений строителей, опыт, передавшийся по наследству, способствовали сложению определенных правил, устойчивых приемов...
Немцова А. А. Принцип двойственности в проективной геометрии iconЖизнь замечательных людей. Великие математики. Паламарчук Ольга 7 «А» 2012г
Евклидом. Системы аксиом геометрии Евклида опираются на следующие основные понятия: точка, прямая, плоскость, движение. Евклидово...
Немцова А. А. Принцип двойственности в проективной геометрии iconЛекции Общие принципы социальной работы. Принцип гуманизма в социальной работе. Принцип социальной справедливости
Общие принципы социальной работы. Принцип гуманизма в социальной работе. Принцип социальной справедливости
Разместите кнопку на своём сайте:
hnu.docdat.com


База данных защищена авторским правом ©hnu.docdat.com 2012
обратиться к администрации
hnu.docdat.com
Главная страница